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P. Alexandroff.

wird auch so zum Ausdruck gebracht, daß wir sagen, das System (17) seiein System von der Ordnung 2 10 )).

Wir bestimmen einen zusammenhängenden Bogenkomplex L.y, indemwir jeder Menge F i (1 <j ¿ <1 «) einen „Punkt" a { und jedem gemein-same Punkte besitzenden Mengenpaare Fi, F ,• einen „Bogen" a¿a 3 - des Kom-plexes Z/(g£ entsprechen lassen.

Dann ist x(C) — oo, falls (für ein genügend kleines e) x{L^e), wieauch gewählt sei, beliebig groß ausfällt.

Falls dies nicht zutrifft, heißt G endlich hoch zusammenhängend undzwar ist dann x(G) gleich der kleinsten natürlichen Zahl k, die so be-schaffen ist, daß es für jedes e>0 ein mit x(Ly) = k gibt.

15. Bemerkung. Falls G in einem mindestens 3 dimensionalenEuklidischen Räume R liegt, kann man für jedes den Komplex Lygeometrisch realisieren, indem man für a { wirkliche, voneinander verschiedenePunkte a { <= F { wählt, und diese Punkte in R durch von den geradlinigenStrecken a¿a ; - sich beliebig wenig entfernende Streckenzüge dann undnur dann verbindet, falls F { • Fi¡ =}= 0. Dabei ist natürlich dafür zu sorgen,daß die auf diese Weise gewonnenen Bögen keine weiteren gemeinsamenPunkte haben.

Die soeben erhaltene .elementare Kurve approximiert G mit einergleichzeitig mit ^ unendlich wachsenden Genauigkeit.

16. Man kann endlich bei der Definition der Zusammenhangszahl denGebrauch der Bogenkomplexe wenigstens formal vermeiden, wenn mandirekt mit Uberdeckungen und zwar folgendermaßen operiert.

Definition. Ein Mengensystem© heißt ein Zyklus, falls jede Mengedes Systems genau mit zwei anderen Mengen desselben Systems gemein-same Punkte hat.

Def. I' (vgl. Def. I des § 7). Ein System von Zyklen heißt ein Null-system, falls jedes Paar gemeinsame Punkte besitzender Mengen, die ineinem Zyklus vorkommen, wenigstens noch zu einem anderen Zyklus des-selben Systems gehört.

Def. Ii' (vgl. Def. II des § 7). Ein System von Zyklen heißt irredu-zibel, falls es kein Nullsystem enthält.

Es sei jetzt eine beliebige e-Uberdeckung von C. Wir nennen v (^ß £ )die größte Zahl v, die als Zyklenanzahl eines irreduziblen Zyklensystems,

10 ) Im folgenden soll unter einer Übrrdeckung immer eine solche von der Ord-nung 2 verstanden werden, und wir werden eine (s, 2)-Überdeckung auch kurz alseine c- Überdeckung bezeichnen.