Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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dessen sämtliche Zyklen aus Elementen von gebildet sind, vorkommt,und definieren weiter:

v. (C) soll alsdann (falls endlich) gleich der kleinsten Zahl gesetzt werden,die so beschaffen ist, daß es für jedes e ein mit

*(r) = »(c)

gibt.

17. Diese Betrachtungsweise, die unserer früheren unmittelbar äqui-valent ist, gestattet, den Begriff des mehrfachen (%(C)> 1) bzw. ein-fachen {x (C) = 1) Zusammenhanges einer Kurve besonders einfach zu for-mulieren.

Eine Kurve heißt mehrfach zusammenhängend, falls für ein genügendkleines e jede e -"Überdeckung wenigstens einen Zyklus enthält.

Im entgegengesetzten Falle (d. h. wenn für jedes e wenigstens eine,keinen Zyklus enthaltende Überdeckung vorhanden ist) heißt die Kurveeinfach zusammenhängend.

Dabei braucht man gar nichts über die Ordnung der Uberdeckungenvorauszusetzen, weil drei beliebige, einen und denselben Punkt enthaltendeMengen einen Zyklus bilden.

18. Eine unmittelbare Folge der Definition der Zahl^(C) ist folgen-der wichtiger Satz: Falls die Kurve C 0 in der Kurve G enthalten ist>so ist

(18) *{C 0 )£x(C).

In der Tat „induziert" jede (aus den Mengen (17) bestehende) Überdeckungder Kurve C die aus den Mengen C 0 -F m (1 ^m<^n) gebildete Uber-deckung der Kurve C 0 . Man erhält , indem man diejenigen „Punkte" a tbzw. „Bögen" in markiert, die nicht leeren Mengen C 0 -F i bzw.C n • j F¡ • Fi entsprechen.

Da also L^eciL% £ und folglich x (¿sp £ ) x (Lys e ) ist, so ist auch*(C 0 ) ^x(C), w. z . b. w.

19. Wir wollen jetzt einen Satz beweisen, der, wie es sich im näch-sten Abschnitte zeigen wird, eine direkte Verallgemeinerung eines bekanntenebenen Zerlegungssatzes von Janiszewski 11 ) darstelltt.

Additionssatz. Falls C 1 und Czwei einfach zusammenhängendeKurven sind und die Menge C 0 = C 1 - C„ aus k^>l Komponenten besteht

") S. Janiszewski, Sur les coupures du plan faîtes par les continus, Prace mat..fiz. 1913.

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