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P. Alexandroff.

(wo k eine natürliche Zahl oder oc ist), so ist C 1 + C„ = C eine k-fachzusammenhängende Kurve.

Beweis. Zuerst beweisen wir, daß x(C)^k ist. Dabei kann manselbstverständlich sich auf den Fall, wo k eine natürliche Zahl ist, be-schränken.

20. Es sei e eine positive Zahl, die kleiner als die Hälfte derkleinsten Entfernung zwischen je zwei Komponenten von C 0 — C 1 - G„ undsonst beliebig ist. Wir wollen eine e -Überdeckung der Kurve C kon-struieren, für die der Komplex L = L<$ ¿-fach zusammenhängend ist.

Dazu wählen wir zuerst eine keinen Zyklus enthaltende ^-Über-deckung

(19) =

der abgeschlossenen Menge C 0 und bestimmen eine positive Zahl ô, diefolgenden Bedingungen genügt:

I o . (5 ist kleiner als jede positive unter den Zahlen ~ g (F? , F¡¡ ) und

als ~.

4

2°. Die Mengen S (Fm, <5) (m = 1, 2, ...,n 0 ) bilden ein System vonder Ordnung 2 (dabei bedeutet S(Fm,ô) die Menge aller Punkte, derenEntfernung von F° n höchstens gleich <5 ist).

Wir wählen weiter für 1 = 1 bzw. X = 2 eine keinen Zyklus ent-haltende ô- Überdeckung

(20) % = {fí,F!¡,...,F^}

von C>., und bezeichnen durch Fm, ¿ (1 <±m<Ln 0 , 1 ¿ r }„) diejenigenF¿ (1 k ^ ñ>.), die mit keiner Menge F° (1 <¡ h <j m — 1), wohl abermit F,n gemeinsame Punkte haben. Wir setzen

r (l) y (2) .

m m

(21 ) = F¡n + 2 F,n,i + J? Fm,i ( 1 W ^-Wo)-

i= 1 i=1

Da (p'm cz S ( F m , ô ) ist, so bilden die </>," ein Mengensystem *ß° von derOrdnung 2.

Wir bezeichnen endlich durch

(22J $1 < • • - , K

bzw.

(22 a ) 4»i,

n ° o ;

alle „übrigen" (d. h. zu £ F m — C 0 fremden) Mengen F m , und merken uns,

daß stets " i_1

(23) — 0 (1 ^ nj ; 1 k <1 n 2 )