Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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ist. Daraus, aus der Definition der und aus der Bemerkung über dieOrdnung des Systems " folgt, daß das System aller Mengen , <I>1, ( l>f

die sämtlich einen Durchmesser < e haben) die

Ordnung 2 besitzt und also eine e - Überdeckung l0 ) der Kurve G bildet.

Wir wollen nun zeigen, daß der dieser Uberdeckung entsprechende Bogen-komplex L = L$ k- fach zusammenhängend ist. Dazu betrachten wir denzufolge unserer Voraussetzung über e und ó aus k Komponenten bestehen-den Komplex L 0 = L ^o und die beiden Komplexe L l = Im* (A= 1; 2),wobei das aus sämtlichen Mengen ( 1 m <1 n 0 ) und (1 ^rri^hx)gebildete System ist. Dann ist L = L 1 + L", L 0 = L 1 • L" . Zufolgedem Additionssatz für Komplexe (§12) brauchen wir nur zu zeigen, daßx(L>.) = 1 ist (A = 1; 2), d. h. daß L l kein geschlossenes Polygon enthaltenkann.

Es sei in der Tat P ein in L' enthaltenes einfaches geschlossenesPolygon. Da P weder in L° noch in L'' — L° enthalten sein kann, sobesteht P-L° aus einem oder mehreren Wegen, von denen jeder sichübrigens in einen einzigen Eckpunkt von P ausarten kann, und die dieKomponenten von P-L ° bilden.

Indem wir allgemein den Mengen (p' n bzw. F n die „Punkte" u' n bzw.ah (A— 1;2) der betreffenden Komplexen zuordnen, bezeichnen wirdurch

W

einen beliebigen der soeben erwähnten Wege, und es sei

X i , I I

a„ — a s , bzw. a T — a t

der in P dem Punkt dg, vorangehende bzw. auf u^ p folgende Eckpunkt.

Da = Fg bzw. — Fl" mit bzw. f PÜ p gemeinsame Punktehat, zu Fo¡ bzw. F„ p dagegen fremd ist, so gibt es eine Menge F¡„ = FÍ' ui c.bzw. Fg p+1 = F'' pt jcz <S>l p derart, daß

bzw.

< +1 -^4=0 + < +1 -<

ist. Es folgt daraus insbesondere, daß die beiden Bögen bzw. a Sv + ~a,

im Komplex L>. = Ly vorhanden sind.

v o

Infolge der getroffenen Wahl von e und ô gehört die Menge G 0 - 2J ( I } n¡ zu

1= 1

einer Komponente Q von C 0 . Der der Gesamtheit aller zu Q nicht frem-den Mengen F' n entsprechende Teilkomplex L;_, Q des Komplexes L,. ist