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P. Alexandroff.

zusammenhängend und enthält die beiden Punkte a So und a Sp+1 , worausfolgt, daß diese Punkte innerhalb L>., q durch einen Weg

0 ®«l ■ ■ ■ a *p +1

verbunden werden können.

Den in L> . enthaltenen Weg

®S®S 0 • • • + 1 (®» = ' @1 — M t)

bezeichnen wir durch W* und ersetzen in P den Weg W durch W*. Nach-dem wir dies für jede Komponente W von PL 0 tun, verwandelt sich Pin ein geschlossenes (im allgemeinen nicht singularitätenfreies), in L¡¡. aufeine widerspruchsvolle Weise enthaltenes Polygon P* 12 ). Die Ungleichung*(C)<1¿ ist hiermit bewiesen.

21. Um jetzt die Ungleichung x(C)~¡^.k zu beweisen [k ist dabeigleich k, falls letztere Zahl endlich ist; falls dagegen k — oo, so nimmtman für k eine beliebig große Zahl), womit offenbar auch der ganzeSatzbestätigt sein wird, genügt es zu zeigen, daß, falls e > 0 hinreichend kleingewählt ist und eine beliebige e- Überdeckung der Kurve G ist, derKomplex L — Ly mindestens fc-fach zusammenhängend ist.

Da die Komponentenzahl für C 0 mindestens gleich k ist, so kannman C 0 in die Summe Q von k paarweise zueinander fremden abgeschlos-senen Mengen Q,, Q>, ..., Qj¿ so einschließen, daß

2y = p(C 1 — Q, C a — Q)

positiv ist. Wir wählen nun e kleiner als jede der Zahlen y,I Q(QpiQ q )> und bezeichnen durch % = {F^ F„, ..F n )

eine beliebige e-Uberdeckung der Kurve G und durch bzw. bzw. dasSystem derjenigen unter den Mengen F 1 , F„, F n , die zu Q bzw. G 1 bzw.C. 2 nicht fremd sind. Zufolge der Wahl der Zahl e besteht der KomplexL n = jLsp o mindestens aus k Komponenten, und da

L = L 1 -J- L„

L 0 * ¿o

ist (wo L>. = L<£ } gesetzt ist), so folgt aus dem Resultat des § 12(Ungl. 15 bis), daß x(L)^.k ist, w. z. b.w.

18 ) Das Polygon P* ist sicher kein „Nullpolygon" (d. h. es läßt sich nicht durchAufheben von je zweimal in verschiedener Richtung zu durchlaufenden Seiten aufeinen Punkt reduzieren). In der Tat: alle Punkte vom Typus a' r des Polygons Pbleiben einfache Punkte des Polygons P*, weil die Eckpunkte der neu hinzukommen-den Wege W* denjenigen entsprechen, die mit C 0 gemeinsame Punkte haben undalso von den a'; = a'' gewiß verschieden sind.