Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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III. Der Brouwersche Invarianzsatz.

22. Es sei F eine in der Ebene E liegende, beschränkte abgeschlosseneMenge. Wir werden stets durch k(F) die Anzahl der durch F in E be-stimmten, zusammenhängenden Gebiete (= Komponenten der Menge E — F)bezeichnen.

Der Zweck dieses Abschnittes ist die Identität(24) k{C) = x(C)

für jede ebene Cantorsche Kurve G zu beweisen, womit insbesondere derBrouwersche Satz 13 ) über die Invarianz der Zahl k ( C) für alle CantorschenKurven aufs neue bewiesen wird. Da dadurch auch der JordanscheKurvensatz und folglich auch die Invarianz des ebenen Gebietes bewiesenwerden und da jedes ebene Kontinuum sich in eine Cantorsche Kurve Cund eine höchstens abzählbare Menge zueinander fremder, sich unter denKomponenten der Menge E — G befindender Gebiete eindeutig zerlegenläßt, so folgt aus unserer Behauptung (24) der Brouwersche Invarianz-satz in seiner vollen Allgemeinheit. Das Hauptziel dieses Abschnittes istaber nicht einen zweiten Beweis des Brouwerschen Satzes zu geben, sonderndie Identität (24) selbst zu beweisen: dadurch wird nämlich u. a. gezeigt,daß die Anzahl der durch eine ebene Kurve bestimmten komplementärenGebiete eine im Sinne des § 19 der vorstehenden Abhandlung kombi-natorische Eigenschaft der Kurve ist.

A. Beweis der Ungleichung y. (C) fe (C).

23. Es sei G eine in der Ebene E des dreidimensionalen Raumes Rliegende Cantorsche Kurve und k eine natürliche Zahl, die gleich k(C),falls k{G) endlich ist, und beliebig groß, im Falle k(G) = oo, zu wählen ist.

Wir bezeichnen durch Gy, G 2 , ■■■, G k ^y alle (bzw. irgendwelche unterden) beschränkten Komponenten der Menge E — C. Es seien weiterG*,G*,-.-,G*- 1 bzw. in Gy, Go, ..., Gt-y liegende, durch einfache ge-schlossene Polygone P*, P*, ■■., P*~ y begrenzte Bereiche; Cy, c 2 , .c k - 1bzw. im Inneren dieser Bereiche liegende Punkte; d y , d„, .. ., d k _ 1 außer-halb eines die Kurve G im Innern enthaltenden Kreises K liegende, von-einander verschiedene Punkte; II 1 , IJ 2 , ..., II k _ 1 zu einander fremde, ein-fache, geschlossene Polygone, die folgendermaßen definiert sind:

U m besteht aus einer, den Punkt c f als Mittelpunkt besitzenden, zuder Ebene E senkrecht stehenden Strecke c' m c'm ; aus zwei einfachenStreckenzügen c' m d' m bzw. c^dZ, die in den durch c' m bzw. c¡,[ gezogenen

13 ) Brouwer, Beweis der Invarianz der geschlossenen Kurve, Math. Ann. 72 (1912),S. 422-425.