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P. Alexandrofí.

zu E parallelen Ebenen liegen und in den sich orthogonal in d m proji-zierenden Punkten d' m bzw. d'' t endigen; endlich aus der geradlinigenStrecke d' m dd'„[.

Es wird außerdem vorausgesetzt, daß die ganze Konstruktion so ein-gerichtet ist, daß für jeden innerhalb K gelegenen Punkt der Ebene Eder nächste Punkt des Polygones 77 m eben der Punkt c m ist.

Das Polygon ll m ist mit P m , dagegen mit keinem der übrigenPolygone P x , . .., P m+i , ..Pt-i verschlungen und zwar ist die betreffendeVerschlingungsordnung gleich 1.

24. Die Verschlingungsverhältnisse zwischen den Polygonen JJ m undP*, bleiben dieselben, falls man ein beliebiges der Polygone P* durch einin G m enthaltenes, den Bereich G* im Innern enthaltendes Polygon P ,**ersetzt.

25. Es sei nun o die kleinste unter allen Zahlen | q(P*, C) und2 Q (P m , n h ) = | ß (P*, c h ) (wobei m und h unabhängig voneinander alleW er te 1, 2 1 durchlaufen ). Dann ist die Entfernung q ( P* *, II,,) 2 a,wie auch das den Bedingungen des § 24 genügende Polygon P** gewähltsei. In der Tat ist für m =f= h

q (PT, n h ) = g (P**, c,,)¿q( C , c h ) > q (C,P *)>2 ound außerdem

q (P**, n m ) = q (P**, c m ) e (p*, c m ) > 2 o.

Falls wir also irgendein P*,'" durch ein Polygon P m ersetzen, dessensämtliche Punkte durch weniger als g betragende Verrückungen entsprechen-der Punkte von P' m entstanden sind, so bleiben die Verschlingungsver-hältnisse zwischen allen P m und TI h dieselben wie zwischen (P*, und II h ,also wie zwischen) P* und P h 14 ).

26. Wir wählen jetzt eine positive Zahl s < -, a und irgendeinee- Überdeckung

(25) ^={F[,F„.....,F n }

der Kurve C. ;i. . r :ioi : í «&:«.;< • ¡v: -x. . i, ■ ..

Wir bezeichn®n : 'i?eitffïs duTöhr'Sr eine positiveVZahl, ïïie kleinen als eund sämtliche positive unter den Zahlen \(}(F i , F ■) ist. Es seien endlich

") In der Tat hat Brouwer in der unter ") zitierten Arbeit, § 3, bewiesen, daßes für jedes Paar zueinander fremder geschlossener Polygone P und 77 (im drei-dimensionalen Räume) eine positive Zahl j; gibt, die so beschaffen ist, daß, falls wirdurch eine weniger als i¡ betragende Verrückung jedes Punktes von P bzw. 77 diesePolyeone in Polygone P bzw. II verwandeln, die Verschlingungszahl (P, II) dieselbewie (P, 77) bleibt.. Es ist dabei leicht 'einzusehen, daß man für r¡ die Hälfte vong(P, II) nehmen kann (Antoine, Thèse, p. 37).