Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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a i i= F { (1 ^ i ^ n) durchweg verschiedene Punkte der Mengen F { und a¿ ajdie in R liegenden, gemäß der Vorschrift des § 15 konstruierten, die Punkte a¡und a-, dann und nur dann, falls F i ■ F- =j= 0 ist, verbindenden Streckenzüge.Auf diese Weise erhalten wir einen im Räume R realisierten BogenkomplexL = J . Wir setzen noch voraus, daß die Bögen ä^äj dieses Komplexessich von den entsprechenden geradlinigen Strecken a¿ aj um weniger alse entfernen.

Die Ungleichung *(c)¡>&(c) wird jetzt bewiesen, sobald gezeigt wird,daß s' ( L ) k — 1 ist.

27. Es sei zu diesem Zwecke für jedes m <^Jc — 1 P*' 1 " ein nach derVorschrift des § 24 gebildetes Polygon, das so beschaffen ist, daß es zujedem Punkte von P** einen um weniger als ô entfernten Punktvon C gibt.

Nach eventueller Unterteilung der Seiten von P„V' kann man erreichen,daß die Eckpunkte 6 1; b 2 , ..., b h ,... (modr) 15 ) von P** der Bedingung

(26) e(h,h+i)<ô

genügen.

Es sei nun b h einer derjenigen Punkte von C, die am nächsten bei b hliegen. Ich behaupte, daß, falls b h bzw. ö 7l+1 zu F { bzw. zu Fj gehören,notwendig F i • -?} + 0 ist.

In der Tat, falls

b h c - F i} b h+1 <= Fj und dabei F i • F¿ = 0wäre, so würde man die unmögliche Ungleichung

3 à <Q(F i ,F j )£g(b h , b h+1 ) ¿ Q (b h ,b h ) + Q (b h , b,\ +1 )+e (b h+1 , b h+1 ) <30

haben. Falls wir für jedes h eine den Punkt b h enthaltende Menge Fiwählen und dabei nur dafür sorgen, daß für geometrisch zusammenfallendePunkte b h auch dieselben Mengen F ¿/ gewählt seien, erhalten wir einin L enthaltenes geschlossenes, im allgemeinen nicht singularitätenfreiesPolygon

; r Y =î <4.VV V/ «Ót . ' :: r á

28. Wir lassen jetzt jedem Punkte b h den Punkt a¿ entsprechen • undbilden irgendwie die Strecke b h b h + 1 eindeutig und stetig auf den Bogena '/, a 'i, fi (der geometrisch sich auch auf einen Punkt a¿ h = a ¿/ 1 zusammen-ziehen kann) ab, so daß dabei die Punkte a ih ,b h bzw. a ih b h+1 ein-ander entsprechen.

Dadurch wird jeder Punkt x von P** in einen einzigen Punkt y

15 ) Die Bezeichnung (modr) besagt, daß i h und &/,+> identisch sind.