530

P. Alexandroff.

von P m und das ganze Polygon P** in P m eindeutig und stetig abgebildet,. wobei folgende Ungleichung gilt:

(26) g(x, y ) ^ g(x, b h ) + q (b h , b h ) + q (b h , aj

+ QÍ a i h > y) < ö + <5 + e + 3e < 6e < a

(es wird hier vorausgesetzt, daß x zur Strecke b h b h+1 gehört).

Der Bemerkung des § 25 zufolge ist, auf Grund von (26), P m mit II mund mit keinem der Polygone IT¡, ..II m - i, n m + i> • • •> ^4- 1 verschlungen;da dies für beliebiges m <^k — 1 gilt, so ist s' (L) ^ k — 1 und alsox(L)^>k, wodurch unsere Behauptung bewiesen ist 16 ).

B. Beweis der Ungleichung y.(C) <Lk(C).

29. Wir fangen mit folgendem Hilfssatze an :

Es seien

(93) B 1 ,B i ,...,B n

ein System 93 von der Ordnung 2 bildende, in der Ebene liegende, paar-weise keinen gemeinsamen inneren Punkt besitzende, einfach zusammen-hängende Polygonbereiche 17 ), deren Vereinigungsmenge B zusammenhängendist. Es sei weiter der Bogenkomplex, den man wie üblich erhält, in-dem man jeder Menge B¡, 1 ¿ ^n, einen „Punkt" a ¿ und jedem Paaregemeinsame Punkte besitzender Mengen B v Bj einen Bogen ~ä^a] ent-sprechen läßt. Dann behauptet der Hilfssatz, daß

(27) k(B)>y.(Lv)ist.

30. Beweis. Es sei für jedes Paar B¿- B- 4= 0 [i 4= j ) eine bestimmteKomponente T¡¡ der Menge B i ■ B- gewählt. Also ist T tj entweder eingleichzeitig auf den Begrenzungen von B¡ und B- liegender Punkt d ij oderein Streckenzug t't", auf dem wir dann einen bestimmten, von seinenEckpunkten verschiedenen Punkt d if markieren.

In dieser Weise wird auf der Begrenzung jedes Bereiches B¡ einegewisse Anzahl lauter verschiedener Punkte d--, d-d i{ bestimmt,

ü l J i J i l Jk

und zwar unter der Bedingung, daß stets und d j ; denselben Punktbedeuten.

Es sei nun c i ein bestimmter im Innern von B { liegender Punkt.

Indem man (für jedes i ) c i innerhalb B { mit allen Punkten d { - durch

1B ) Der soeben dargestellte Beweis hat manchen Berührungspunkt mit einemTeile des Brouwerschen Invarianzbeweises.

l7 ) Unter einem (zusammenhängenden) Polygonbereich verstehen wir immer dieabgeschlossene Hülle eines durch einen oder mehrere zueinander fremde einfachegeschlossene Polygone begrenzten ebenen Gebietes.