Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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einfache Wege W¡- verbindet und dafür sorgt, daß zwei Wege und W ikkeinen von c,- verschiedenen gemeinsamen Punkt haben, erhält man, indemman W {j -j- W- ¡ als einen Bogen cïc} betrachtet, eine, als Bogenkomplexbetrachtet, mit L® identische, in B liegende Kurve L.

Die Kurve L bestimmt also 18 ) in der Ebene E genau x — v, [L) — x(L^)zusammenhängende Gebiete

(28) G%, Go, ..G x .

Da jede Komponente der Menge E — B in einem der Gebiete (28)enthalten ist, so wird unser Hilfssatz bewiesen, sobald wir zeigen, daßfür kein m (1 ^m^x) die Menge G m — B leer ist.

31. Es sei zu diesem Zwecke L m das das Gebiet G m begrenzende(im allgemeinen nicht singularitätenfreie) Polygon und a¡aj = Wij + Wjiein in L m enthaltener Bogen. Wir betrachten die beiden Bereiche B i und B-und das entsprechende T i -. Wir setzen zuerst voraus, daß T { - ein Strecken-zug t' t" ist. Da t' t" im Punkte d { - den Bogen a^äj durchkreuzt, so kannman auf wenigstens einem der beiden Streckenzüge d i -t' bzw. d i -t",z. B. auf d {j t' einen Punkt g derart finden, daß die ganze Strecke d¡ - g, ab-gesehen von ihrem Endpunkte d ij -, in G m enthalten ist. Da aber d {j dereinzige Punkt der Menge T i --L ist, so ist der ganze Bogen d i - i' bis aufden Punkt d,-, insbesondere also der Punkt t' in G m enthalten. Dader Punkt t' einerseits nur zu B { und B- gehört, andrerseits aber keininnerer Punkt der Menge B { + B- ist, so ist t' auch kein innerer Punktvon B. Jede Umgebung des Punktes t' (also insbesondere auch jedein G m enthaltene Umgebung dieses Punktes) enthält also Punkte vonE — B, woraus folgt, daß [E — B)-G m ~ G m — B 0 ist.

Im Falle, wo T { - mehr als einen Punkt enthält, ist hiermit unsereBehauptung bewiesen.

Es sei jetzt T { - mit dem Punkte d { - identisch. Hier ist wieder d {¡der einzige Durchkreuzungspunkt von didj und eines gewissen, auf derBegrenzung von B¡ liegenden, aus zwei in d {j zusammenhängenden, gerad-linigen Strecken d { - e', d { -e" bestehenden Bogens e'e", den man so kleinnehmen kann, daß z.B. d { - e' bis auf d { - erstens in G m enthalten ist,zweitens (mit Ausnahme desselben Punktes d tj ) mit keinem der BereicheB h ( h i) gemeinsame Punkte hat. Es sei nun x ein beliebiger, von d {jverschiedener Punkt von d i -e'. Eine hinreichend kleine Umgebung von xist einerseits in G m enthalten, andrerseits enthält sie aber Punkte der

18 ) Da für ebene Bogenkomplexe k (L) = x (L) ist (vgl. die am Ende des § 10gemachte Bemerkung).