532 P. Alexandroff.

Menge E—B. Also ist wieder G m —B =%= 0, womit unser Hilfssatz voll-ständig bewiesen ist.

32. Es sei jetzt C eine in der Ebene E liegende Cantorsche Kurve.Wir bezeichnen durch k eine natürliche Zahl, die beliebig groß ist, fallsx ( C ) = oo ist, und die gleich x (G) ist, falls letztere Zahl endlich ist.

Wir bezeichnen durch e eine positive Zahl, die genügend klein ist,damit für jede 3 e- Überdeckung ^ß 3<r von G die Bedingung

y. (Li p3e) ^ Je

erfüllt sei. Wir wählen jetzt eine bestimmte e-Uberdeckung

(29) y = {F lt F t ,::.,F n }

der Kurve G und eine so kleine positive Zahl #<e, daß die MengenS (F m , ■&) ein System von der Ordnung 2 bilden.

Die beiden folgenden, ganz evidenten, Bemerkungen werden für dieBeweisführung von Wichtigkeit sein:

a) Falls

M lt M r

irgendein Mengensystem von der Ordnung 2 und N m eine Teilmenge von M mist, so ist auch das System aller N m höchstens von der Ordnung 2.

b) Falls unter der ersten Voraussetzung des Satzes a) M m = Jv' M .

i= i '

und M m i -M mik — 0 ist, so ist das System aller Mengen M m i (11 <Lr) von der Ordnung 2.

33. Wir unterziehen jetzt die Ebene einer kanonischen 10 ) quadratischenUnterteilung % von der Seitenlänge a < ~, und bezeichnen durch B*

die Vereinigungsmenge derjenigen Quadrate des Systems %. die im Innernoder auf der Begrenzung Punkte von F m enthalten.

Es seien weiter

"(30) B*r BÏ B?.

sämtliche Komponenten aller Mengen B* (1 <Lm<Ln).

Wir setzen nun B¡ = B* und B," t gleich der Vereinigungsmenge der-

10 ) D. h. einer solchen, die aus einer gewöhnlichen Unterteilung mit der Seiten-länge a dadurch entsteht, daß man von zwei benachbarten vertikalen Quadratreihen

die eine eine Parallelverschiebung vom Betrage ^ (in der Richtung der vertikalen

¿J

Achse) erleiden läßt. Vgl. Lebesgue, Fund. Math, 2. — Der kanonische Charakterder Unterteilung 3; garantiert das Erfülltsein der Bedingung 4® des nächsten Para-graphen.