Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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jenigen in B* enthaltenen Quadrate der Unterteilung %, die nicht bereitsin Bi, ..., aufgenommen sind. Es seien wieder

(31) o,

sämtliche Komponenten aller Mengen ( 1 m <1 r 0 ).

Das Mengensystem (32) besitzt folgende zum Teil evidente, zum Teildurch wiederholte Anwendung der beiden Bemerkungen a) und b) undder Voraussetzungen über die Zahl & unmittelbar ersichtliche Eigenschaften,in deren Formulierung der obere Index i = 0 zu setzen ist :

1 Die Mengen bilden ein System von der Ordnung 2

2 B l =2B l m ^C

m— 1

3 (<) <5 (B* m )< 3e (l^m^n (i) ) U = 0.

4 (i) Jede Menge B* n ist ein zusammenhängender Polygon-bereich 1? )

5 <l) Zwei verschiedene Bereiche B], und B % q haben keinegemeinsamen inneren Punkte

Es kann vorkommen, daß man die Zusammenhangszahl (im klassi-schen Sinne) des Polygonbereiches B" durch Zerschneidung längs passendgewählter, das Kontinuum G nicht treffendur einfacher polygonaler Wegeerniedrigen kann. Man kann dann der Reihe nach endlich viele solcherWege derart ziehen, daß ohne das Kontinuum G zu treffen keine weitereErniedrigung der Zusammenhangszahl von B° möglich ist. Indem manunter Geltung evidenter Vorsichtsmaßnahmen 20 ) jeden unserer Schnittedurch einen schmalen, das Kontinuum C nicht treffenden, etwa aus Qua-draten einer genügend feinen Unterteilung der Ebene bestehenden Streifenersetzt und dann die nach Tilgung dieser Streifen entstandenen Kompo-nenten Bm,h (h = 1, 2, ..r h , 1 der übrigbleibenden Teil-mengen der Mengen B° n in eine neue endliche Folge

(33) Bt, B 2 \..„ B^w

ordnet, erhält man, wie früher, ein allen Bedingungen l (i) bis 5 W (¿ = 1)genügendes Mengensystem.

i n< " i

34. Wir betrachten nun die zum Polygonbereiche B = B m kom-

m=l

plementären Gebiete G¡¡, 1 ^k(B 1 ). Jedes dieser zusammenhängen-

20 ) Die erwähnten Vorsichtsmaßnahmen werden getroffen, um Doppelpunkte(= Selbstberührungen) auf den Begrenzungspolygonen der Bereiche zu vermeidenund dadurch die Geltung der Bedingung 4 li) (i = l) zu sichern.