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P. Alexandroff.

den Gebiete ist in einer Komponente der Menge E — C enthalten. Fallsaber zwei Gebiete G/ h und G/ h in einer Komponente der Menge E — Centhalten wären, so würde es einen diese Gebiete innerhalb B verbinden-den, C nicht treffenden Weg geben und der entsprechende Schnitt würdeden Zusammenhangsgrad von B 1 erniedrigen. Da letzteres zufolge unsererVoraussetzung über B 1 unmöglich ist, so können keine zwei Komponentenvon E — B x zu einer Komponente von E — C gehören, und also ist

(34) k(B l )£k(C).

Es bleibt uns noch ein Schritt übrig: Wir wollen nämlich die Be-reiche Bm durch einfach zusammenhängende, allen Bedingungen l (t) bis 5 Wgenügende Bereiche ersetzen. Das geschieht aber sehr leicht durch wieder-holte Anwendung folgenden Verfahrens:

Man ersetzt einen mehrfach zusammenhängenden Bereich B ^ durchden kleinsten Bm enthaltenden, einfach zusammenhängenden Bereich B mund streicht einfach in (33) alle in B m enthaltenen Bereiche Bf, .

Nach endlich vielen Schritten erhalten wir so ein System S3 einfachzusammenhängender Bereiche

(93) B lt B 9 ,...,B n ,

welche allen Bedingungen 1 bis 5, die durch Streichen des Indexes i ausden Bedingungen l (i) bis 5 (t) entstehen, Genüge leisten.

n

Indem wir B = B m setzen, bemerken wir einerseits, daß

m= 1

k(B)<k{B x ),

und also a fortiori

k(B)£k(G)

ist. Andrerseits genügt aber das System 33 allen Bedingungen unseresHilfssatzes, so daß k(B)~¡¡>>t(L%) ist.

Indem wir jetzt & m =C B m setzen und das System ^ aller be-trachten, erhalten wir eine 3e-Überdeckung der Kurve C. Also istx(Lyj)7>k, und da c L s ist, so ist

k£x(L^)£x (L%) £ k(B) £k(C),

w. z. b. w.

IV. Geschlossene Kurven.

35. Aus dem soeben Bewiesenen folgt unmittelbar folgenderSatz. Damit eine ebene Kurve C die gemeinsame Grenze aller durchsie in der Ebene bestimmten Gebiete sei, ist notwendig und hinreichend,daß jedes echte Teilkontinuum von C einfach zusammenhängend, dieKurve C selbst aber mehrfach zusammenhängend sei.