Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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Folgende Definition erscheint also als berechtigt:

Eine mehrfach zusammenhängende Kurve heißt geschlossen, falls ihresämtlichen echten Teilkontinua einfach zusammenhängend sind.

Insbesondere heißt eine geschlossene Kurve regelmäßig oder unregel-mäßig geschlossen, je nachdem ihre Zusammenhangszahl gleich oder größerals 2 ist.

Nach dem bis jetzt Bewiesenen sind die ebenen, in unserem Sinneregelmäßig geschlossenen Kurven mit den im Schoenfliesschen Sinne ge-schlossenen Kurven identisch.

Dagegen sind die unregelmäßig geschlossenen ebenen Kurven nichtsanderes als gemeinsame Grenzen von mindestens 3 ebenen Gebieten.

36. Eine regelmäßig — ebensogut wie unregelmäßig — geschlosseneKurve G kann bekanntlich unzerlegbar 21 ) (d. h. als Vereinigungsmengekeiner zweier ihrer echten Teilkontinua darstellbar), also u. a. irreduzibelsein. Falls aber die geschlossene Kurve C kein unzerlegbares Kontinuumist, so ist C = Cj + G„, wobei G 1 und C 2 notwendig einfach zusammen-hängend sind und also (zufolge des Satzes des § 19) eine genau aus x(C)Komponenten bestehende Durchschnittsmenge C ± ■ C 3 = K i + /C¡ +... -f- K x (c)haben. Indem wir z. B. die Punkte a <= K x und b a K 2 wählen und sieinnerhalb C 1 bzw. C 2 durch irreduzible Kontinuen C* bzw. Co* verbinden,erhalten wir eine wenigstens zweifach zusammenhängende Kurve 0* + G*,die also, mit G identisch ist; C*-C* besteht wieder aus x (C) Kom-ponenten.

Wir können also für allgemeine geschlossene Kurven einen bekanntenSatz über die ebenen geschlossenen Kurven folgendermaßen aussprechen:

Jede geschlossene Kurve G ist entweder unzerlegbar, oder sie läßt sichin zwei zwischen demselben Punktepaare a, b irreduzible, einfach zu-sammenhängende Kurven C 1 , C 2 derart zerlegen, daß C 1 -C 2 genau ausy-(C) Komponenten besteht.

37. Falls eine geschlossene Kurve imzerlegbar ist, so ist sie natürlichein (sogar gleichzeitig zwischen unendlich vielen ihrer Punktepaare) irredu-zibles Kontinuum. Eine geschlossene Kurve kann aber ein zwischen ge-wissen Punktepaaren irreduzibles Kontinuum sein, ohne dabei notwendigein unzerlegbares Kontinuum zu bilden.

21 ) Beispiele von unzerlegbaren Kontinuen waren zuerst von Brouwer („ZurAnalysis Situs", Math. Ann. 68) gegeben. Ihre Theorie war später von Janiszewskiund Kuratowski in ihrer Arbeit „Sur les continus indécomposables", Fund. Math. 1,entwickelt worden. Letztere Arbeit wird in diesem Abschnitt als bekannt voraus-gesetzt.