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P. Alexandroff.

Um das einfachste Beispiel einer solchen Kurve zu haben, brauchtman nur

c = c*+c*

Fig. l.

zu setzen, wo C* das in der xoy -Ebene gelegene, durch eine Modifikationdes bekannten Brouwerschen Kontinuums entstandene, auf der Fig. 1 dar-gestellte unzerlegbare Kontinuum ist und C',¡, sein Spiegelbild in bezugauf die x- Achse. Offenbar ist C*-C% in einer einzigen Menge ißc«, c»bzw. 5ßc„c, enthalten 22 ).

3ä ) Es dürfte vielleicht von Interesse sein, an dieser Stelle zu bemerken, daß,falls C = jF ± + F. 2 eine Zerlegung irgendeines unzerlegbaren Kontinuums .0 in ziveiechte abgeschlossene Teilmengen ist, F, ■ F„ notwendig aus unäbzählbar vielen Kom-ponenten besteht. Es sei in der Tat î|5 c die Menge aller derartigen Punkte x von C,daß C zwischen a und x reduzibel ist. Bekanntlich ist in unserem Falle jedeiß a Menge ein in C dichtes Semikontinuum, das in bezug auf C eine Menge vonder ersten Kategorie (im Baireschen Sinne) darstellt. C wird in dieser Weise in un-abzählbar viele zusammenhängende, zueinander fremde Teilmengen zerlegt, die dieEigenschaft haben, daß jedes echte Teilkontinuum von C in einer dieser Teilmengenenthalten ist. Da kein ß (als in C dichte Menge) in einer der Mengen F,, F 2enthalten sein kann, und da c zusammenhängend ist, so enthält jedes cPunkte von F t -F s . Da andrerseits keine Komponente der Menge F 1 ■ F., mit mehrals einem iß o ß gemeinsame Punkte haben kann, so ist die Mächtigkeit der Mengealler Komponenten von F 1 ■ F. 2 mindestens gleich der Mächtigkeit der Menge allers $a.C' s ' e unabzählbar und folglieh (da es sich um Komponenten ab-

geschlossener Mengen handelt) von der Mächtigkeit des Kontinuums.