Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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Falls a'" und b * zwei in untereinander und von c , verschiedenenc* und enthaltene Punkte sind und b* das Spiegelbild von b*

ist, so ist G zwischen a* und b * irreduzibel.

C ist eine regelmäßig geschlossene Kurve. Man könnte aber leichtauch eine unregelmäßig geschlossene Kurve von derselben Art konstruieren.

38. Die soeben betrachtete Kurve G ist zwar zerlegbar, wohl aberals Vereinigungsmenge zweier unzerlegbarer Kontinuen definiert worden.Wir wollen zeigen, daß dies kein Zufall ist. Es besteht in der Tat folgenderSatz. Jede (regelmäßig oder unregelmäßig) geschlossene Kurve C,für die es wenigstens ein Paar von Punkten a, b gibt, zwischen denen sieirreduzibel ist, ist entiveder unzerlegbar oder Vereinigungsmenge ziveierunzerlegbarer Kurven.

Beweis. Da G kein unzerlegbares Kontinuum ist, so gibt es zweiechte Teilkontinua G i , 0 2 von G, deren Vereinigungsmenge die ganzeKurve C ist. Da die beiden Punkte a und b gleichzeitig weder zu C 1noch zu C„ gehören können, so ist z. B. a <= G 1 — C 2 und b <= C 2 — C 1 .Wir werden zeigen, daß man außerdem voraussetzen darf, daß C 1 — C 2bzw. Co — C 1 in C x bzw. in G„ dicht sind, d. h. daß C 1 = C 1 — C 2 bzw.C 2 = C 2 — C 1 ist.

In der Tat, falls dies nicht der. Fall wäre, so würden wir setzen:

(35) G* = Gomp b (0,-CJ,

(86) C* — Gomj^ {Gy — G* ),

wobei wie üblich Comp x M die Komponente des Punktes x in bezug aufdie Menge M bedeutet.

Bekanntlich 23 ) folgt aus (35) (da G 1 -G„ sicher nicht leer ist), daßC*-C t , und also zufolge (36) auch C*■ C* nicht leer ist. Daraus ergibtsich aber, daß C* + ein beide Punkte a und b enthaltendes, folglichmit G identisches Kontinuum ist.

Weiter ist (da z.B. Comp b (C a — C 1 ) <= G* und also mit C* ■ Comp b (C 2 — CJidentisch ist):

G* = Comp b (C 2 - G x ) e C*- Comp b (C 2 - CJ <=

/~t* r\ r- r\* r\*

*_y o 1 2 1 '

P* = Com^iG, - G*) = C*- Comp a (Ç x - G*) ¿

= c*~c*.

- 3 ) Auf Grund eines (von Janiszewski in Journ. Ec. Polytechnique, (2) 16(1912) bewiesenen) allgemeinen Satzes, der besagt, daß, wenn F und <1> abgeschloßsen sind, und sowohl F- <I> als l' 1 — <I> nicht leer sind, jede Komponente von F— <I>zu ® gehörende Häufungspunkte hat.

Mathematische Annalen. 96. 35