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P. Alexandroff.

Die beiden Kontinuen C* und C* genügen allen unseren Voraussetzungenund können G ± und G„ ersetzen.

39. Wir setzen also voraus, daß G = G í -{- C 2 und

(37) ac= C i — Cjc C^C,; b^G^-G^G^ C¡- G,

ist, und beweisen jetzt, daß G 1 und G„ unzerlegbar sind.

Zufolge dem Additionssatze besteht C x ■ C 2 mindestens aus zwei Kom-ponenten. Es seien also c und d zwei zu verschiedenen Komponenten derMenge G^^-G^ gehörende Punkte.

I o . G i ist irreduzibel zwischen c und d. In der Tat, falls ein echtes,beide Punkte c und d enthaltendes Teilkontinuum K 1 von G 1 vorhandenwäre, so wäre G 1 — K 1 ein Relativgebiet von G 1 und, da G 1 — G„ in G 1dicht ist, so würde man einen Punkt

p<=C 1 — (K i + 4| )finden können. Das Kontinuum K ± + C 2 ist also sicher von G ver-schieden, was unmöglich ist, weil (da c und d zu K x -C<¿ und zu verschie-denen Komponenten von G x ■ C 2 also a fortiori zu verschiedenen Kom-ponenten von K t ■ G„ gehören, und folglich K 1 ■ C 2 nicht zusammenhängendist) K x + C„ zufolge dem Additionssatze kein einfach zusammenhängendesKontinuum ist.

2° Cj ist zwischen a und d irreduzibel. Falls in der Tat Q 1 ein denBedingungen

a + d<= Q, c= G 1 — p, pc-G 1 — C^

genügendes Kontinuum wäre, so würde Q x + C 2 von C verschieden sein,was unmöglich ist, da

a + b cz Q 1 + C 2 1= C,

und d <= Q x • C 2 , also Q 1 -f- C 2 ein der Irreduzibilität von G zwischen aund b widersprechendes Kontinuum ist.

3° G i ist zwischen a und c irreduzibel. Der Beweis ist demjenigenvon der Behauptung 2° ganz analog.

Da C 1 zwischen jeden zwei unter den Punkten a, c, d irreduzibelist, so ist C x ein unzerlegbares Kontinuum" 4 ).

In derselben Weise würde man auch die Unzerlegbarkeit von C. 2zeigen können, womit unser Satz bewiesen wird.

40. Der soeben bewiesene Satz läßt sich — wenigstens teilweise —umkehren: wir wollen nämlich folgendes beweisen:

-') Letztere Behauptung ist bei Janiszewski und Kuratowski, loe. cit. bewiesen.