Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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Jede endlich hoch zusammenhängende (also insbesondere jede regel-mäßig) geschlossene Kurve, die die Vereinigungsmenge zweier unzerlegbarerKontinuen ist, ist (und zwar zwischen unabzählbar vielen ihrer Punkte-paare) irreduzibel.

Es sei

G = Cj -f- C 3

eine geschlossene Kurve mit endlicher Zusammenhangszahl k = y.(C), dieals Vereinigungsmenge zweier unzerlegbarer Kontinuen C 1 und 0 2 dar-gestellt ist. Da G 1 und C 2 einfach zusammenhängend sind, so bestehtG 1 -C ¡1 aus k Komponenten und ist also in höchstens Ic verschiedenener bzw. c 2 - Mengen enthalten. Diese endlich vielen Mengen wollenwir für einen Augenblick ausgezeichnete Mengen nennen.

Es sei nun ^ c¡ bzw. c .. eine nicht ausgezeichnete Menge (derenes unabzählbar viele gibt) und p bzw. q ein Punkt von Cj bzw. Sßg.c,.Es sei weiter K irgendein zwischen p und q irreduzibles Teilkontinuumvon C. Wir wollen zeigen, daß K notwendig jedes der Kontinuen C 1und C. j enthält und folglich mit C identisch ist. Es genügt zu zeigen,daß ist (weil die Inklusion K => G 2 in genau derselben Weise

verifizierbar ist).

Wir bemerken zuerst, daß p im Relativgebiete K — C 2 enthalten ist.Es existiert also 25 ) ein Teilkontinuum P von K, das der Bedingung

p a Pez K — C„ciC L ,

P-C. + 0

genügt. Es sei p' irgendein Punkt von P- C„ cz C\ ■ G„. Da p' notwendigzu einer ausgezeichneten (also von c, sicher verschiedenen) Menge ge-hört, so ist C 1 irreduzibel zwischen p und p' und, da p -¡- p'<=. Pc C ist,so ist P = C 1 und folglich C 1 czK, w. z. b. w.

Die Frage, ob es eine unendlich hoch zusammenhängende geschlosseneKurve gibt, die zwischen keinem Punktpaare irreduzibel ist, bleibt offen(obwohl wir gleich sehen werden, daß jede derartige Kurve entweder un-zerlegbar ist oder durch Vereinigung zweier unzerlegbarer Kontinuen ent-steht).

Dagegen ist es leicht (nicht geschlossene) Kurven zu konstruieren,die Vereinigungsmengen zweier unzerlegbarer Kontinuen sind und diezwischen keinen zwei ihrer Punkte irreduzibel sind: um dies zu erreichengenügt es, wie leicht ersichtlich, zwei derartige unzerlegbare Kontinua C\und C.¡ zu konstruieren, daß jedes c¡ mit jedem ^<7, gemeinsamePunkte hat. Es sei nun C 1 das im Einheitsquadrate [1] der xoy- Ebene

25 ) Siehe Fußnote 2S ).

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