Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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V.Stetige Kurven.

42. Unter einer stetigen Kurve verstehen wir (unter Aufgabe desSchoenflies-Hahnschen gleichlautenden Begriffes, der sich nach den neuestenEntwicklungen der Kurventheorie, durch welche der Kurvenbegriff end-gültig festgelegt sein dürfte, nicht länger aufrecht erhalten läßt) eine all-gemeine Kurve, die im Kleinen zusammenhängend ist. Diesen stetigenKurven soll der vorliegende letzte Abschnitt gewidmet sein. Insbesondereerlauben die stetigen Kurven endlicher Zusammenhangszahl eine, wie esscheint, erschöpfende Charakterisierung ihrer topologischen Struktur.

Die einfachsten unter allen stetigen Kurven sind natürlich der ein-fache Bogen (d. h. das topologische Bild einer geradlinigen Strecke) unddie einfache geschlossene (Jordansche) Linie, die wir kurz Kreis nennenwerden, weil sie topologisch mit der Kreislinie identisch ist.

43. Die stetigen Kurven erlauben, die abstrakten Definitionen der§§ 13, 14 auf einen geometrischen Boden zu übertragen. So sagen wir,daß ein System von Kreisen ein Nullsystem ist, falls jeder Punkt, dereinem Kreise des Systems gehört, wenigstens noch in einem Kreise des-selben Systems enthalten ist. Ebenso nennen wir ein System von Kreisenirreduzibel, wenn unter seinen sämtlichen Teilsystemen kein Nullsystemvorkommt.

44. Der Beweis des Satzes, daß jede als ein Bogenkomplex darstell-bare stetige Kurve eine Zusammenhangszahl ^ k hat, sobald sie einirreduzibles aus k — 1 Kreisen bestehendes System enthält, läßt sich leicht(z. B. mittels eines elementaren Induktionsverfahrens) darstellen. Darausfolgt aber, daß jede stetige Kurve, die ein irreduzibles (k — 1 )- Kreissystem 27 )enthält, mindestens k-fach zusammenhängend ist. Man könnte die Um-kehrung dieses Satzes direkt beweisen, wir werden sie aber bald als Teileines genauer gefaßten Satzes erhalten.

45. Bevor wir zur Formulierung dieses Satzes schreiten, führen wirfolgende Definition ein. Wir sagen, daß eine (im allgemeinen nicht ab-geschlossene) zusammenhängende Menge M ein offener ¿-fach zusammen-hängender Bogenkomplex ist, falls M die Darstellung

M = (1 4- Y 1 Ñ- ■

k,% lt i>'¿ » • i •) Z/Í

zuläßt, wobei folgendes erfüllt ist:

I o C 0 ist eine i -fach zusammenhängende, als ein Bogenkomplex dar-stellbare Kurve.

2 ') Wir werden im folgenden stets statt „ein irreduzibles, aus k Kreisen be-stehendes System" einfach „ein irreduzibles k-Kreießystem", oder sogar ein Kreis-system" sagen.