Kombinatorische Eigenschaften von Kurven. 543

Zufolge dem Ergebnisse des § 44 wird unser Satz bewiesen sein, so-bald wir gezeigt haben werden, daß jede stetige Kurve C, die ein (k — 1)-aber kein Kreissystem enthält (¿^1), die soeben behauptete ZerlegungC = M -f- J zuläßt und höchstens ¿-fach zusammenhängend ist 2 ").

48. Um diese Behauptung zu beweisen, fangen wir mit folgendemHilfssatz an:

Es sei G eine stetige Kurve, die ein (1c — 1 )-Kreissystem(1 ) Qii Q%> ■ • ■? Qu- 1»

aber kein ¿-Kreissystem enthält. Wir bezeichnen durch e eine beliebigepositive Zahl. Dann ist jede Menge zueinander fremder Teilbögen von G,deren Durchmesser sämtlich ^ e sind, notwendigerweise endlich.

Es sei in der Tat

(2) 8 lt S s , ..., 8 n , ...

eine unendliche Folge von Teilbögen der Kurve G, die sämtlich vomDurchmesser e sind. Offenbar kann man voraussetzen 30 ), daß für jedes n

ô (S n - Q) < ~ ist, wobei Q die Vereinigungsmenge aller Kreise (1) be-deutet.

Es seien nun a n und b n zwei Punkte von S n , deren Entfernung > ~ ist.Indem man, wenn nötig, die Folge (2) durch eine Teilfolge ersetzt, kannman voraussetzen, daß die beiden Folgen aller a n (n = 1,2, ... in inf.)und aller b n konvergent sind.

Wir bezeichnen durch ô eine so kleine positive Zahl, daß jede zweiPunkte a und b der Kurve C, deren Entfernung kleiner als (5 ist, inner-halb G durch einen einfachen Bogen von einem Durchmesser < ~ ver-bindbar sind. Es sei nun n so groß, daß gleichzeitig

Q( a n> a n+i)< ô ' Q (b n ,K + i)< ôsind; es seien weiter a n a n+ 1 bzw. b n b n+1 die die Punkte a n und a n + 1bzw. b n und b n + 1 verbindenden Bögen vom Durchmesser < ^ • Zufolgeder Wahl der Punkte a n und b n sind a n a n+1 und b n b n+1 zueinander fremd.Es seien nun a„ bzw. b * der letzte bzw. der erste in a n a n+1 bzw. b n b n+1

-") Auch die Umkehrung des soeben formulierten Satzes ist richtig, d. h. daßjede die Zerlegung C = M-\- J zulassende Kurve eine k-fach zusammenhängende stetigeKurve ist, sobald keine zwei verschiedene Folgen vom Typus 8° zum selben Punkt kon-vergieren.

30 ) Indem man, wenn nötig, endlich viele Glieder der Folge (2) streicht.