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P. Alexandroff.

enthaltene Punkt, dem man auf dem Wege a n b n a S n in der Richtungvon a n nach b n begegnet. Der Teilbogen a* b* von S n ist, bis auf seineEndpunkte, zu der Menge a n a n+1 b n b n + 1 fremd und hat einen Durch-

\ / * 7 * \ ^ E Ct S 8

messer g> p(a n , b n ) > j - 2-g = j.

Auf dieselbe Weise definieren wir die Punkte a*+\ und b*+\ ■ Wennman unter bzw. On+i b* +l den entsprechenden Teilbogen von a n b n

bzw. a n + 1 b n+1 versteht, sieht man leicht ein, daß a* +i a* + a* b*

+ K K+i + b*i+1 «»*+ 1 ein Kreis K, dessen Durchschnitt K ■ S m mit S m voneinem Durchmesser > ~ ist. Unserer Voraussetzung gemäß kann also Kunmöglich in Q enthalten sein, woraus folgt, daß

Qi> Q.• - •>

ein irreduzibles ¿-Kreissystem ist. Dies bedeutet aber einen Widerspruchmit den Eigenschaften der Kurve C, w. z. b. w.

49. Um unsern Beweis bequem weiter entwickeln zu können, führenwir folgende Modifikation eines bekannten Brouwerschen Begriffes ein:Wir sagen, daß eine Eigenschaft, die gewissen abgeschlossenen Mengen(eines kompakten metrischen Eaumes) zukommen kann, induktiv nach obenist, falls aus ihrer Geltung für sämtliche abgeschlossene Mengen einer wachsen-den Folge

(3)' F,c: F 2 <= . .. a F n Π. . .

die Existenz einer gleichzeitig alle Mengen der Folge (3) enthaltenden ab-geschlossenen Menge F co folgt, für die die erwähnte Eigenschaft ebenfalls gilt.

Man beweist nun leicht, daß jede eine nach oben induktive Eigen-schaft besitzende Menge in einer größten, dieselbe Eigenschaft besitzen-den Menge enthalten ist.

50. Wir bezeichnen jetzt durch C* irgendein das gegebene (1c —- 1)-Kreissystem der den Bedingungen der Behauptung 1 (§47) genügendenstetigen Kurve C enthaltendes, in der genannten Kurve G enthaltenesKontinuum. Wir sagen, daß der einfache Bogen S = a b a C ein ( G*, G )-Bogen ist, falls C* -S = a ist; a soll dann der Mündungspunkt des Bogens Sheißen. Aus der Tatsache, daß jeder zu G gehörende Kreis bereits in G*enthalten ist und aus dem Hilfssatze des § 48 folgt dann leicht, daß dieEigenschaft eines einfachen Bogens ein (C*, C)-Bogen zu sein eine nachoben induktive Eigenschaft ist; also ist jeder (C*, C)-Bogen in wenigstenseinem Maximalbogen derselben Natur — wir sagen kurz: in einem(C*, C)-Aste — enthalten. Der Mündungspunkt dieses Astes ist derselbePunkt a, der als Mündungspunkt des ursprünglichen (C*, C)-Bogens S galt.