Kombinatorische Eigenschaften von Kurven.

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Jeder Punkt von C*, der als Mündungspunkt wenigstens eines ( C *, C)-Bogens vorkommt, soll ein erreichbarer Punkt von C heißen. Wir be-weisen jetzt, daß die Menge aller erreichbaren Punkte von C* höchstensabzählbar ist. In der Tat, wir bemerken zuerst, daß, falls a und a 1 zweiverschiedene erreichbare Punkte von C* sind und S bzw. S 1 zwei indiesen Punkten mündende, sonst ganz beliebige (C ', C)- Bögen sind,S und 8 1 unmöglich gemeinsame Punkte haben können (weil dies dieExistenz eines in C* nicht enthaltenen Kreises zur Folge haben würde).Falls also unabzählbar viele erreichbare Punkte vorhanden wären, würdeman unabzählbar viele paarweise zueinander fremde Teilbögen von Chaben, was in einem evidenten Widerspruch mit unserm Hilfssatze steht.

51. Falls andererseits S = ab und S t = ab i zwei in demselben PunkteaczC"' mündende ( C*, G)- Bögen sind, so folgt aus den schon mehrereMale erwähnten Gründen, daß S-8 1 entweder aus dem einzigen Punkte aoder aus einem Bogen ad besteht. Letztere Bemerkung gibt Anlaß zurfolgenden Konstruktion. Wir betrachten die Menge äJij aller im Punkte amündenden Äste und wählen einen bestimmten, es sei ab 1 , unter den-jenigen Ästen des Systems 9K 1 , für die /li ( a b) seinen größtmöglichen Wertannimmt; dabei bedeutet ju (ab) den Maximalwert g (a,c) von q[o,x),x<=-ab 31 ).

Vorausgesetzt,

(4) ab i ,a\,...,ab n

wären schon konstruiert. Wir betrachten dann die Menge + 1 aller mitkeinem der Äste (4) einen gemeinsamen Bogen besitzender, in a münden-der Äste und wählen einen bestimmten, es sei ab m + 1 , unter denjenigenÄsten des Systems 9D? m + 1 , für die /u(ab) den größtmöglichen Wert an-nimmt 31 ).

Auf diese Weise werden die endlich oder abzählbar vielen Äste

(5) ab 1 ,ab. 2 , ...,ab m , ...

konstruiert, wobei n{ab m )^> fi(ab m + 1 ) ist und die Folge ô(ab m ) kon-vergiert (falls (5) unendlich viele Elemente enthält), auf Grund des Hilfs-satzes, notwendig gegen Null. Das gleiche gilt dann a fortiori für n(ab m ).

Es sei jetzt ax ein beliebiger, in a mündender Ast und m die erstenatürliche Zahl, für die entweder kein ab m mehr existiert (im Falle, wenn

31 ) Ein solcher Ast ist immer vorhanden. Es sei in der Tat a die obere Grenzealler in Frage kommender /i ( a b), und es seien ferner a n b„ (n = 1, 2, ...) so gewählt,daß lim fi (a„ b„) = lim g (a n , c n ) = a ist, und gleichzeitig c = lim c n existiert. Es genügtdann (für ein hinreichend großes n), c mit c„ durch einen kleinen Bogen c^c zu ver-binden, einen ( C *, C)- Bogen a~c aac n + c n c zu wählen und einen letzteren Bogenenthaltenden Ast zu betrachten.