Kombinatorische Eigenschaften von Kurven. 547

nur einem der Bögen ,- 2 . it gehört, bereits konstruiert. Wir konstruierendann eine 93 (C k ,C) und bezeichnen diejenigen Bögen der letzteren Basis,die in Punkten von $ ¿li ik münden, der Reihe nach durch

Ù ■ ■ . i/i 1 ) ^ii iz ... ik 2 5 • • • ) 8 il .. . ik ik + 1 ' • ' *

'S»! ¿2 . ..ik ik + 1 = ( a il h ■■ ■ «A-W + l ^<1 ¿S • • . »A i k + 1 ) •

Eine leichte, auf wiederholter Benutzung der Bedingung 4° des §51 be-ruhende Überlegung zeigt, daß C A . +1 = C k • + Si,i,...i k ik + i e ' n

(il tj . ■ . ik ik + l)

Kontinuum ist; jeder erreichbare Punkt dieses Kontinuums gehört dabeizu einem einzigen i 2 ...i k i k hl .

Das Verfahren kann nur dann im Endlichen abbrechen, falls für einbestimmtes m C m = C ist.

53. Es sei jetzt M = y, C k , also M = C 0 ¿ Si, . Aus

Ä — 0 jfc, î'i t 2 . . . ijf

unserer Konstruktion ergeben sich die Eigenschaften I o bis 7° des § 45 un-mittelbar.

Der Beweis der Eigenschaft 9° läßt sich leicht auf den Hilfssatz(§48) zurückführen (auf Grund der Bedingungen 5° und 7° 32 )).

Was die Voraussetzung 8° betrifft, so ergibt sie sich folgendermaßen:Aus 5° und 9° folgt, daß, falls ein Punkt bczM, also b c= C k (für einbestimmtes k) ein Häufungspunkt der Menge

O.X > ^i ] Î 9 "i, i 2 ... ik S * • •

wäre, so würde diese Menge notwendigerweise nach b konvergieren. Daraus

CO

und aus unserem Hilfssatz folgt, daß die Menge a ¡i ú T k «¡, ú i k it + ■ +

i 2 ' _

(wobei a¡, ik a h ¿ 2 ...¿ A . ÍA+1 als Teilbogen von ¡s ... ¡ k = a,-, fl ...,•* ó,-,, A .eindeutig bestimmt ist) ein einfacher Bogen W 1 ist.

Indem man und b innerhalb C k verbindet, erhält man einen zweiteneinfachen Bogen W„ und dann enthält W x + W„ einen zu Q nicht ge-hörenden Kreis. Durch diesen Widerspruch ist bewiesen, daß auch 8°stimmt und daß also M ein offener Komplex ist.

Außerdem ist aber in der letzten Überlegung auch der Beweis dafürenthalten, daß jede Folge

(8) S il ,S ilii ,...,S il i,... ik> ...in eineindeutiger Weise einen Punkt

(9) lim S h ik = b it ... c zG — M

1: -> co

bestimmt.

32 ) Man vgl. evtl. mit § 56.