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P. Alexandrofï.

Wir werden jetzt zeigen, daß umgekehrt jeder Punkt feC— M einPunkt b¡ 1 ,- 2 ... i k .. . von der Art ( 9 ) ist.

Es sei £ ein beliebiger Punkt von C — M und a £ irgendein einfacherBogen, der £ mit einem Punkte aaC 0 verbindet. Indem wir evtl. a£durch einen Teilbogen ersetzen, können wir voraussetzen, daß a der einzigezu C 0 gehörende Punkt des Bogens a£ ist, so daß a£ ein (C 0 , 0)-Bogenund a = a- H sein Mündungspunkt ist. Es folgt also aus dem bis jetzt be-wiesenen, daß a £ mit einem bestimmten Bogen a¡ 1 6 tl = einen Bogena tl • a t¡ gemeinsam hat (wobei der Teilbogen a¡ lt -„f ein in a tl ,- 2 münden-der (Cj, C)-Bogen ist). In dieser Weise fortfahrend, erhalten wir auf a£eine Reihe aneinander anschließender Bögen.

(10) a o», ¿J = o», ßi l i, , a il i, », » . • • i Oij ;j... t' A - ®<, ¿a ... i'a û + 1 »

Diese Bögen konvergieren gegen einen Punkt b¡ r ¡ , k ..., der auf dem

Bogen ci£ liegt. Ich behaupte, daß = £ ist. In der Tat, falls

dies nicht der Fall wäre, würden wir durch k die erste Zahl bezeichnen,für die Ô ( a h ik <,...<*)< 6 ( «¡3 «... - <*> f ) ist - Da der Teilbogen a i± ,- 2 ... £von a£ ein in o,-, , 2 ... ik mündender C)- Bogen ist, der mit S il , A .

den gemeinsamen Bogen a fl , 2 ... a ix , 2 .. . ¡A . ¡ /í+i hat, so widerspricht dieletzte Ungleichung der Bedingung 3° des §51.

Ein analoger Widerspruch würde uns den Beweis dafür erbringen,daß a £ = «¿J bi L , /; ... ein Ast ist.

54. Wir bezeichnen durch J die Menge aller Punkte 6,-^

durch J ili% ...i k die Menge aller Punkte ^ ..., wobei

fest gedacht sind, die h dagegen alle Werte annehmen. Wir haben be-wi esen, daß C = .M + J ist, uns bleibt jetzt noch übrig zu zeigen, daß Jeine (falls nicht leere!) nulldimensionale, nur aus Endpunkten der Kurve Cbestehende Gs- Menge ist. Daß J eine G¿- Menge ist, folgt einfach daraus,daß M eine F a - Menge ist. Um zu beweisen, daß J nulldimensional ist,genügt es zu zeigen, daß J aus lauter Endpunkten besteht (weil dieMenge aller Endpunkte jeder Kurve höchstens null-dimensional ist 33 )).

55. Bevor wir für jeden Punkt 6$,^...^ ... die Gleichung

ind G =1

b. .

ï\ lo ... Vi • ••

beweisen, bezeichnen wir durch ... ik den offenen Komplex

£»,»,...«+ 2 Si,i,...i k ,h 1 h 2 ...hi, und bemerken, daß ein Punkt &< fi,h, h,

niemals Häufungspunkt eines Mj 1 j 1 ...j k sein kann, es sei denn, daß

33 ) Urysohn, a.a.O. *); Menger, Math. Ann. 95, S. 283.