Kombinatorische Eigenschaften von Kurven. 549

j 1 = ¿1, j 2 = j k = i k ist. In der Tat, falls ein Punkt b ¡¡ ¿ 2 ... ¿ A . ...

der Menge J ein Häufungspunkt von wäre, so würde eine Punkt-

folge von der Art

zu 6»,t,...i k konvergieren; dann wäre aber

i¡¡ » 2 ... ik ... "t - O-h3i ■■■ik+h 3i ■ ■ • 3 k + h + 1 'h=0

(zufolge unserem Hilfssatze) ein den Punkt 6^4...^... als Endpunkt be-sitzender einfacher Bogen, also wären die Punkte 6,-und bj 1 j,...j k ...

identisch, was nur dann möglich ist, wenn für jedes k i k — j k ist.

Aus dem soeben Bewiesenen folgt, daß dieKontinuen ,- 2 ... i k = Mi, ¿ 2 ... ¿ A .folgenden Bedingungen geniigen:

1Z; ^ j 2 ... ij. — -Mi, ï 2 ...i Ä -(- Ji¡ i„... ik )

-Ktj t'j... i'a ' Ci— 1 == ®ij i 2 ... ú- )

3i- -Ktj ij... ¿i ' ; 2 ... ja- — $»1 i'í ... ik ' ii ■ ■ ■ jk >

4 1- Ki, i,...i k und h^tk, sind zueinander fremd, abgesehen

von dem Falle i 1 =j 1 , ..., i k = j k , in welchem ¿ 2 ... í /; = -Kt, ¿ 2 ... i k ... < A ist.

CO

5 i- H K tl ¡ 2 ... = ôij t 2 .,. i k ...fc=l

56. Es seien jetzt

(11) K.l .1 .1, iL 2.3 .2,..., K.m m .m ...

l l *2 ■ " l ki l l *2 • * * l &2 1 2 ' • • Arn

alle untereinander verschieden. Wir wollen zeigen, daß unmöglich füralle m die Ungleichung

(12) ô(K.m.m ,m)^>e

'1 '! 'k,„ —

gelten kann. Falls sie in der Tat erfüllt wäre, so würde man zwei Fällebetrachten müssen:

a) Alle k m sind kleiner als eine bestimmte Zahl N. Dann könnteman voraussetzen (indem man (11), wenn nötig, durch eine Teilfolge er-setzt), daß alle k m = k sind, was zufolge 3 1 zu einem Widerspruche mitunserem Hilfssatze führen würde.

b) Es gibt unter den k m beliebig große. Dann kann man voraus-setzen, daß k m < k m + 1 — 1 ist, womit auf Grund von 2| derselbe Wider-spruch erreicht wird.

Wir können also zu den Bedingungen 1°. bis 5¿, denen die Kontinuen

Ki l i i k genügen, noch die folgende hinzufügen:

6 1 Für keine positive Zahl e gibt es unendlich viele der Ungleichung^{K il ú...i k )^s genügende K i¡h ... ik .