Sur l'intégration des équations aux dérivées partiellesdu type elliptique. II. Note.

Von

S. Bernstein in Charkow (Ukraine).

1. Je crois, qu'après les quelques explications que j'ai données dansune Note 1 ) récente au sujet des inégalités fondamentales (23) de monMémoire 2 ) »Sur la généralisation du problème de Dirichlet«, je n'ai plusbesoin de revenir sur la démonstration de la proposition suivante quej'appellerai, pour abréger, théorème A:

Si z est une solution finie et continue ainsi que ses dérivées desdeux premiers ordres de l'équation linéaire

(1) A Ü+ 2B £$hC^ + 2D£ + 2E%+F Z = M

(AC — B* > % > 0, AF£ 0)

qui s'annule sur la circonférence C de rayon B; si les coefficients dupremier membre sont des fonctions analytiques de x, y à l'intérieur de C;si de plus les modules des dérivées des 7 premiers ordres de A, B, G etles modules des dérivées des 2 premiers ordres de D,E, F sont bornéssupérieurement sur la circonférence C et à son intérieur par un nombredonné P: on a les inégalités" a )

r n (01 > , r

[z],,<X[M}._.

(23) ou (2)

r i Vi

rözl (01> , r , ri '° " OZ

■ s. .. .<'■[»]„•

r\ V' r,'

d" z

?y-

(01) 01,

où / est entièrement déterminé par P et y.\ (les modules trigonométriquésnormalisés qui figurent dans ces inégalités se rapportent aux nouvellesvariables x 1 ,y 1 qui transforment l'équation (1) à la forme réduite en

1 ) Math. Ann. 95 (pp. 585—594).

3 ) Ibid. 69 (pp. 82—136).

3a ) loc. cit. p. 109.

Mathematische Annalen. 96. 41