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S. Bernstein.

faisant correspondre au cercle G un cercle C' de rayon 1 avec corre-spondance des centres, ces nouvelles variables ainsi que R\ et r{ dépen-dent donc uniquement de A, B , C).

2. C'est de ce théorème A que découle le lemme du § 14 du Mémoirecité qui domine toute la théorie des équations du type elliptique. Ladémonstration un peu trop concise de cette proposition que j'appelleraithéorème B n'étant pas bien comprise par certains de mes lecteurs, jetiens à la reproduire avec plus de développements. Voici textuellementson énoncé 3 ):

Théorème B. « Si z 0 est une solution de Véquation analytique du typeelliptique

(3) F {r,s,t,p,q,z,x,y,a) = 0 {F' r F' z ^ 0)

correspondant à a = a 0 qui s'annule 4 ) sur la circonférence G et admetdes dérivées bornées des neuf premiers ordres sur cette circonférence aussibien qu'à son intérieur, il existe un nombre e tel que, pour toutes lesvaleurs du paramètre a ( réelles ou complexes ) satisfaisant à Vinégalité\a — a n \<£, l'équation admet une solution jouissant des mêmes pro-priétés que la solution z 0 et se confondant avec cette dernière sur le con-tour C».

Avant de passer à la démonstration, je voudrais préciser quelquespoints de cet énoncé et expliquer la portée du théorème. Je suppose,bien entendu, en disant que l'équation est du type elliptique (pour lessolutions considérées z) qu'il existe pour toutes les valeurs effectivementprises par z un nombre k > 0 tel que 4 F r F t — (F s ) > y. . he nombree qui est une borne supérieure du rayon de convergence du développe-ment de z suivant les puissances de [a — a Q ) est entièrement déterminépar la borne supérieure P des dérivées considérées des neuf premiersordres (du moment que x est fixé). Enfin, quand je dis que lasolution z (pour | a — a 0 | < e) jouit des mêmes propriétés que z 0 , celasignifie que z admet également des dérivées bornées des neuf premiersordres; mais naturellement la borne supérieure des modules de ces déri-vées pourra, en général, être différente de P. C'est pour cette dernièreraison que du théorème B à lui seul on ne saurait aucunement conclure

8 ) On trouvera une généralisation de ce théorème pour le cas, où la condition

Fr Fz < 0 n'est pas remplie, dans mon Mémoire »Sur les équations du calcul des

variations«, Ann. de l'Ec. Normale 1912, page 481.

4 ) Il n'y aurait rien à changer, si la solution se réduisait à une fonction <p (6)analytique de l'angle 0 sur C ; le cas général se ramenant d'ailleurs facilement àcelui de ç>(0) = O, o'est uniquement pour simplifier l'écriture que cette hypothèseavait été introduite dans l'énoncé.