Équations aux dérivées partielles.

635

(ce qui d'ailleurs, en général, serait inexact) que, en l'appliquant deproche en proche, on aura une solution de l'équation (3) quel que soit«.Cette conclusion ne sera légitime que four toutes les classes £ équations,où en partant de l'hypothèse que la solution admet des dérivées finies desneuf premiers ordres, le nombre P peut être fixé a priori indépendam-ment de a, car dans ce cas la valeur e sera déterminée une fois pourtoutes, et on arrivera à n'importe quelle valeur donnée de a en appliquantle théorème B un nombre limité de fois. Voici pourquoi je maintiensintégralement mon affirmation qui termine le § 14: «Le lemme (théorème B )ainsi démontré nous montre que la question de la possibilité du problèmede Dirichlet se ramène à la question de la possibilité de fixer a priorides limites supérieures des modules de la solution et de ses dérivées des neufpremiers ordres, si on admet seulement l'existence de cette solution et deses dérivées de tous les ordres. Ce résultat assez compliqué devient extrême-ment simple grâce à l'application de la méthode des fonctions auxiliaires».

3. Passons donc à la démonstration. Pour simplifier l'écriture jeposerai « 0 = 0; de plus, pour plus de netteté, je supposerai la fonction Fentière par rapport à toutes les variables dont elle dépend. Remarquonsd'abord que la série

(4) Z = Z 0 + a Z 1 + ■ • • + „T z n i

qui vérifiera formellement l'équation (3), la vérifiera effectivement pourtoutes les valeurs de cc pour lesquelles cette série converge uniformément,ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres par rapport à x et y. Ils'agit donc en premier lieu de former la série (4) et d'assigner une bornesupérieure à son rayon de convergence, ainsi qu'à celui de ses dérivéesdes deux premiers ordres. A cet . effet, nous prenons pour z x — (J~-jla solution, qui s'annule sur C, de l'équation linéaire

ri' c _^i i p' d i i 9 dZi i jp' BZi . p' ,

' ' r ° Sx i "' So Bx By ' ~By* ' v °Bx By r z ° 1 a=0 1

qu'on obtient en différentiant (3) par rapport à « et en remplaçant apar 0 et z, p, q, r, s, t par z 0 , p 0 , q 0 , r n , s 0 , t 0 , respectivement. En diffé-rentiant encore une fois, nous avons

Í T?'* ^ _1_ T?' — ?. 2 1 H 1 ' ^ Z 2 _L W f -— 2 _1_ 7 ï 1 ' _!_ 7p' v - A

r ° 0a: 2 s °BxB~y to By- ^~ Pa ~Bx ' îo By ~r 0 2 2 '

ou

—

Fr, (-M + 2 F" (Ö) l~~ ¡ ) + 2 F': (8 ' Zl

0

Bx-J '< - 1 roSo \Bx 2 ) \Bx By J 1 " T ° l ° \ Sx- ) \ By

f:¡zi + 2F;:J^+... + F:,

41*