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S. Bernstein.

et 2, = (— \ I est la solution de (6) qui s'annule sur C. En diffé-

9 V?« 7 a= o

rentiant successivement nous déterminons de proche en proche z n commela solution qui s'annule sur C de l'équation linéaire

/7^1 ï ?' d z " i -T}' à z n i W 8 z„ , p' cz„ . d z n i et ' a

r ° Sx* "f" '°8xdy dy* r v ° dp 1 dy ^ z ° „ n

dont le premier membre reste invariable et le second dépend des fonctionsz 0> z 1 , .. z n _ 1 et de leurs dérivées des deux premiers ordres par rapporth X et y déjà déterminées.

Dans ces conditions les équations (5), (6), (7) satisfont aux con-ditions 5 ) du théorème A, avec les mêmes valeurs de P et x et les mêmesvariables de transformation x x , y x , de sorte qu'on pourra fixer une valeurde l indépendante de n , telle que

r .(0,1) . r . ,(0,1) r3z 1 ,l (0,1) ita n' 0 ! 11 P z »l <0,1) ir/ii (0ll)

(Q\ r5 2 2„l (0ll) . - r A n^ 1 » Í 5'"' *» 1 ^ ^ , r A 1 <0) "

\.dx*\ R [r[ A ^nWx' IdxdyiRÍrl ^ "W"

i dy 2 \ß[ r'i ^ "-Wn'les modules trigonométriques normalisés ayant toujours les mêmes signi-fications.

Nous allons fixer à présent une valeur de e x telle que, pour a | < e x ,non seulement la serie (4) converge uniformément avec ses dérivées desdeux premiers ordres, mais qu'il en soit de même des séries

qu'il suffit de considérer pour a > 0.

A cet effet, remarquons que, si dans les expressions A n qui figurentdans les seconds membres des équations (5), (6), (7) on remplace chacune

5 ) L'existence des solutions des équations linéaires a été démontrée préalable-

ment dans le § 13 du Mémoire cité; il fallait, en effet, pour éviter l'apparence d'un

cercle vicieux, démontrer d'abord le théorème B pour l'équation linéaire et constater

que pour les équations linéaires les conditions de ce théorème se trouvent toujours

remplies, le nombre e pouvant être fixé indépendamment de œ (pp. 112—114), de sorte

que la solution de l'équation linéaire correspondante existe effectivement. Il est

essentiel surtout que si, pour une valeur de a, l'éxistence est établie, les inégalités(8) (théorème .4) les accompagnent.