Équations aux dérivées partielles.

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des dérivées partielles de F par son module trigonométrique normalisé

, , . , » . d"z¡ d'z¡ d"z¡ dz¡ dz¡

et les fonctions de meme indice — ¡r, , 5—5-, , r— , z, par un meme

dx 2 drdy dy~ dx dy » r

nombre b¡ (pour i < n ) qui est supérieur aux modules trigonométriquesnormalisés de celles-ci, on obtiendra un nombre B > [A u ] . De plus,

Ri r 1

ce nombre B n s'obtiendra de la façon suivante: soit

(10) b(a) = ab 1 -(- ... + — b n ..

une série (formelle) majorante des séries (9).

Considérons la série de Taylor suivant les puissances de q , a, t ., g, r¡, Ç, a

(11) 0{q, a, r , i, r], Ç, a)

•= F(r 0 + Q, s o + 0, t 0 + r, p 0 + i, q 0 + v, V> u )

— F {r 0 ,s 0 , t 0 ,p 0 , q 0 ,z 0 , .r, y, 0) - [eK +o F', 0 + t F¿+ %K» + V^i + ^F Z ' 0 ]

= uF' - ' V T 9 " ir ( r o' s o'^o'J ) o'go' ;S; o> x >y>°)

"~° ' >1=2 Br" 1 ds K * 8t"' dp"' dq x * dz x> 8 a" ! * s ! x 3 ! * 4 ! x 5 ! *„! x !qui aura, en général, des rayons de convergence bornés inférieurement parrapport à toutes les variables; mais, comme je l'ai dit au début de ladémonstration, je fais ici, pour ne pas entrer dans des détails d'ordre secon-daire, l'hypothèse simplificatrice (nullement essentielle) que ce développementest convergent dans tout le plan de q , a, t, ç , r¡, f, a; si, à présent, nousposons Q = a = x= t; = r] — £ = b et remplaçons en même temps tous lescoefficients de la série C I> (qui sont des fonctions de x et y) par leursmodules trigonométriques normalisés respectifs, nous obtenons une sérieformelle suivant les puissances de & et « (à coefficients constants)

( 12 ) <p(b,cc)= «lsK=n]^' + J

" iri m + y.= 2

Jß

alors n " sera le coefficient de a n dans le développement formel suivant lespuissances de a, auquel se réduit la série (12), lorsqu'on y substitue (10)à la place de b : en d'autres termes, B n est la dérivée complète d'ordre npar rapport à u, pour a = 0, de <p(b,a), si b est donné en fonction de «par la série (10).

Remarquons ensuite que la fonction F (r, .. z, x, y, a) étant supposéeentière par rapport à toutes ses variables, la fonction 9 o{b, u ) sera égalementconvergente pour toutes les valeurs de b et a. En effet, l'hypothèse que z 0 ad-met des dérivées bornées des 9 premiers ordres (les 3 premiers ordres seraientsuffisants) entraîne son analyticité, et, d'après les considérations générales de lapage 108 de mon Mémoire cité, on peut assigner une borne supérieureQ à tous les modules trigonométriques normalisés [z 0 f°'^ ,, [Pol' 0 ''" ■

Ri 7*1 Ri i" 1

[¿of, 11 ,, [a:]' 0 ', 1 ',, [2/] ,. Par conséquent, en tenant compte de la pro-

■H i r i iîid Ryti