638 S. Bernstein.

priété évidente des modules trigonométriques normalisés, que [f x -j- /"g]' 0 ' 1 ' ,

¿[ftf/s efc .if^ ■> nous aurons

"• i r i -Ii i ri R L r i R \ r \ R i r i

(13)

F (r 0 , 8 0 , t 0 ,p 0 ,q 0 ,z 0 ,x,y.Q)dr" 1 d s"'dt"' 8 p"' 8q"'°8 z"' 8 ce"

(0,1) ,n +

iifi

< Q, Q, Q, Q, Q, Q,Q,0 )

= 8r8 s" 2 8 t"' dp" 1 8q" ¡ 8 z"'8 a*'

où F(r,s,t,p,q,z,x,y,a ) est la série majorante (partout convergente) dudéveloppement de F(r,s,t,p,q,z,x,y,cc) suivant les puisances de r, s,t,p,q,z,x,y,a. Donc la série (11) reste partout convergente, quand on yremplace tous les coefficients par leurs modules trigonométriques normalisés,et par conséquent la série (12) représente également une fonction entièrepar rapport à b et a.

Cela étant, pour obtenir la série (10) qui est majorante des séries (9 ),il suffira de prendre la solution b de l'équation

(14) b = Xcp(b,u)

qui s'annule avec a, pour le développement de laquelle suivant les puis-sances de a on peut trouver une borne inférieure e 1 du rayon convergencepar la méthode classique de Cauchy. En effet, de (12) nous tirons

7 i r n' l' 0 ' 11 1 r 4 n* 0 ' 1 '

b i — X [ a J jß i ri ~ A

donc, en vertu de (8) pour n — 1, ôj est bien supérieur aux coefficientsde a dans les séries (9). Or, en admettant que pour toutes les valeursde i <7i on sait que

(0,1)

&,>

g Zjd X-

Sifi Ri r i

on aura, d'après ce qui précède,

K -i£¡ V (».«+£«■+...+ jír;,,

R i ri

par conséquent, en vertu de (8), on aura aussi

(15) b n >

8 ~ z n

8 X-

(0,1)

n '' Riri

R i ri

Donc de la convergence de la série (10) il résulte que toutes lesséries (9) sont également convergentes, d'où, enfin, résulte a fortiori la con-vergence absolue et uniforme de la série (4) ainsi que celle de ses dérivéesdes deux premiers ordres pour | a \ < ; ainsi Vexistence de la solution z pourles valeurs considérées de a est établie.