- Jflü*-'« ■ w

Équations aux dérivées partielles.

639

4. Je passe à présent à la démonstration du fait que la solution z(pour a < s) admet des dérivées finies et continues des 9 premiers ordres,en suivant la méthode indiquée aux pages 117—118 que je développe,conformément au procédé de démonstration du théorème 11 employé à lapage 113 pour le cas particulier de l'équation linéaire. A cet effet, endifférentiant terme à terme par rapport à l'angle polaire 6 la série (4), je pose

(16)

8 zSU

= Z = z,

o I

az 1 + ...

*< + -•

en remarquant que, si les dérivées secondes par rapport à x et y de cettesérie sont uniformément convergentes, z' satisfera à l'équation linéaire

(17)

i/dV , j/ilfL i jf'tÄ. — A'fi ~dx- t -*• ê^cTy + ay* — *

obtenue en différentiant (3) par rapport à 0 (en tenant compte des identités:

se

S" z_

S x 2

8 , x S" z

8x8 y

8_ z8y-

2 s), OÚFr,F¡

F t , A' sont des fonctions entières par rapport à r, s, t, p , q, z, x, y , a.Par conséquent, en faisant dans (17)ß = 0,r = r 0 , .. z = z 0 , on obtientl'équation à laquelle satisfait z' 0

(18)

w S' z' {< p/ s 2 z' 0 . p 'S'

r ° S x s *' dxdy S j/ B ° '

et en différentiant successivement par rapport à a l'équation (17) on a succes-sivement les équations pour déterminer z/, ... z,' qui sont nulles sur C

Jl' d Z !

r " 8 X-

F'

s ° dxcy

d . ,. S 2;

8 y*

F ta

s- Zl

8y-

, dd a

^ ( t?' \ d g o i ( -p' \ £n

da" S x 2 d a c x 8y

UÓ) = K

I 3" z'

/ \ 77*

( 19 ) r ° TaT 2 " 1 ~"°8x8y

,8'2' , S " s 'xi « ri' n __

F'- + A ipr -

S" z'

n

d / \ à 2^_ t

ci c

«)

8 x"

...+ (tf)

fia" ° d V

n{n- 1) d- / \

2 da- r °>

+^Uo')=4;,

da' 1

où les symboles tels que ' . ( ) représentent la dérivée complète par

d a 1

rapport à a d'ordre i de F' r > où, après differentiation, on fait a = 0, r =r 0 , ...,z = z 0 .