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S. Bernstein.

Puisque les équations linéaires (18) et (19) ont leurs premiers mem-bres identiques et satisfaisant aux conditions du théorème A, que l'existencede leurs solutions est assurée, quand les modules trigonométriques normalisésdes seconds membres sont finis, et que, d'autre part, leur réduction à laforme canonique se fait par l'introduction des mêmes variables x 1 et y 1que celle des équations (5), (6), (7), on a, en conservant les mêmes modulestrigonométriques normalisés que précédemment (8), les inégalités

<0,1) / Î rjn (0,1>

(20)

d" z>

d X' 1

[ 5 '"' <L sy°

Ri r i(0,1)

ô° zL

„a- ¡ < L [ A

> 1(0,1)Jäi ri'

- i r a ' i f 0 ' 1 '

, , K\ An\ R \ r ;

R i ri

où À 1 est déterminé par le même nombre P (qui limite supérieurement lesdérivées des 9 premiers ordres de z 0 ) que X dans les inégalités (8).Or, pom a ^ 0, on a, d'après ce qui précède,

£<*€!. < +»• [■•£+» «'«■•))■

où b est la série majorante (10) suivant les puissances de a qui est lasolution de l'équation (14) considérée plus haut; donc, le rayon de con-vergence e 1 de cette série étant fixé, on pourra fixer un nombre g, tel que

K— (#•„) <i\g 4\- da

et de meme

(21)

da

(0,1) r d i , '

, < i\g i ,

Ri n l da

r di (a'

Vd^ [Ao

(0,1)

< i [ -g\

Ri r i

(0,1)

Ri ri

< i\g i ,

quel que soit ¿>0. Prenons ensuite, en supposant g>\, un nombre Nassez grand pour que

(22)

[*o'Ç> , < N,Ri ri

dz 0d X

(O.l)

<N,

J -ñi ri

a 2 '

8_ zodxpy

(0,1)

Ri r.

<N,

d zody 2

Sj. oJy .

(0,1)

(0,1)

Ri r i

<N,

r 8 2 z'p

d X 2

(0,1)

, . ,<N,

Riri

Ri r i

, <N, 6X ± g < N,2g < N.

Je dis que, dans ces conditions, on aura, quel que soit n,

(23)

R i r.

8 z»

d X

(0,1)

< n\ N

ii+i

r S 3 z' n (Vd a; 2

< n\N

W + l

" g" Zndxdy

Ri ri

(0,1)

Szñ

(0,1)

< n\ N

■» + 1

Ri r 1

L 0 2/ Jüiri

O 2 '

S g n

dy 2

< n\ N

n+ 1

< n\ N

»+1

iii ri