Équations aux dérivées partielles.

En effet, supposons que les inégalités (23) soient vraies pour toutesles valeurs inférieures à n 0 . Alors, pour n — n 0 , on aura, à cause de (19),(21), (22),

< 3 [V^' + W^ 1 + ... + n¿.g n 'N] + n 0 \g n "

< n 0 l 6gN Uj ;

donc, en vertu de (20) et (22), on a également

Su '

Zr,dx 2

<6^7i 0 \gN n " <n 0 \N n ' +1

R i ri

et des inégalités pareilles pour les autres dérivées. Les inégalités (23) sontdonc exactes quel que soit n, et par conséquent, pour | a | < , la série

(16) satisfait à l'équation (17) et admet non seulement des dérivées finieset continues des deux premiers ordres, mais ces dernières admettent égale-ment des modules trigonométriques normalisés finis.

Cela étant, en difïérentiant encore l'équation (17) par rapport à 6,on formera une équation linéaire analogue

as.» i)2 z "

(24) F; + F / f- +F;^T = A",

r 8 X 2 s Sx8y t dy-

à laquelle satisfera

(25) 2 " - f r ; - V' + «v +... + ,

tant que cette dernière série convergera uniformément avec ses dérivéesdes deux premiers ordres. Le premier membre de l'équation (24) est lemême que celui de l'équation (17), seulement A" (qui est une fonctionentière de r, s, t, p, q, z, x, y,a) est de plus un polynome par rapportà z' et ses dérivées des deux premiers ordres par rapport à x et y . Donc,en difïérentiant successivement un nombre quelconque n de fois l'équa-tion (24) par rapport à c, et en faisant a— 0, on obtient des équationslinéaires pour déterminer z" de la forme

3 2 z" d-z" S 2 z''

(26) r^ + Kàfi.+rt-tf-A:

qui ne se distinguent des équations (19) que par leurs seconds membres,de sorte que le théorème A est applicable avec les mêmes inégalités (20)(avec la même signification des modules trigonométriques normalisés etla même valeur de Aj). Ainsi on peut déterminer, comme plus haut, un

nombre N 1 , tel que, pour œ|<-^-, la série (25) satisfasse à l'équation

•"1

( 24 ) et possède avec ses dérivées des deux premiers ordres par rapporth x et y des modules trigonométriques normalisés finis.