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S. Bernstein.

Le même procédé de différentiation par rapport à 0 pourra être ap-pliqué autant de fois qu'on voudra, le théorème A étant toujours applicableavec les mêmes inégalités (20), puisque les premiers membres des équa-tions linéaires correspondantes restent toujours les mêmes. La différentiationétant poussée jusqu'au septième ordre, on choisira la plus petite des 8limites supérieures pour | a ainsi obtenues, et cette valeur fixe e jouirade la propriété que la solution z de l'équation (3) aura pour toute valeurde I a < e des dérivées finies et continues des 9 premiers ordres.

En effet, en introduisant les coordonnées polaires g et 0 nous avonsdéjà démontré par ce qui précède que toutes les dérivées de z d'ordrenon supérieur à 9, où la différentiation par rapport à g n'est pas effectuéeplus de 2 fois, sont finies et continues. Ainsi, en particulier, il en est

ainsi de r J-, , ' et Or, si nous différentions par rapport à g

d0 ■' d Q do* o q" o 0

2 2 ....

l'équation (3), en considérant . comme fonction implicite de q , toutes

les autres fonctions entrant dans cette équation ayant des dérivées finies etcontinues par rapport à g, nous obtenons en chaque point à l'intérieurd'une couronne circulaire S formée par la circonférence C et une autrecirconférence C' concentrique de rayon fixe aussi petit qu'on veut (et surces circonférences également) des valeurs finies et continues parfaitement

déterminées bornées supérieurement. Naturellement le même procédé

d 4 z

de différentiation par rapport g pourra être appliqué pour déterminer

en partant de l'équation (17) et ainsi de suite; donc, en opérant de cettefaçon, on parvient à limiter supérieurement toutes les dérivées des 9premiers ordres (quel que soit le nombre i 9 de differentiations parrapport à g) pour les valeurs indiquées de |«j < e, à l'extérieur du petitcercle C'; mais nous pouvons supposer ce cerle C' assez petit pour que duseul fait que ^ [ 3 ]«' r 011 puisse conclure l'existence des dérivées

de tous les ordres et l'analyticité de z à son intérieur. Ainsi toutes lesdérivées des 9 premiers ordres existent et sont limitées supérieurementà l'intérieur du cercle entier G ainsi que sur son contour.

Le théorème B est donc entièrement démontré.

5. Je voudrais indiquer encore quelques conséquences du mode deraisonnement que nous avons suivi dans cette démonstration (chap. IV,pp. 132—135 du Mémoire cité). Je souligne d'abord encore une fois que,le premier membre de l'équation