Équations aux dérivées partielles.

643

obtenue en différentiant l'équation (3) x fois par rapport à Ö, satisfaisant

quel que soit x aux conditions du théorème A , lorsqu'on sait que z admet

des dérivées bornées des 9 premiers ordres, sa solution (dont l'existence

est assurée et qui satisfait aux inégalités fondamentales (2)) qui se confond

g*z . d*zavec 2 (k) = sur le contour C représente effectivement pour toutes

cd" 80*

les valeurs de x, y à l'intérieur de C. On sait, en effet, que —— satisfait

u dO"

d" z

à l'équation (24 bis ) et, puisque z est analytique, on sait aussi que —-

d 6 '

admet des dérivées des deux premiers ordres finies et continues à Vintérieurde C\ or, Véquation linéaire (1) ne peut avoir deux solutions différentesayant des dérivées des deux premiers ordres finies et continues à l'intérieurde G qui prennent les mêmes valeurs sur C ( sans faire aucune suppositionsur Vexistence des dérivées sur le contour). Je reproduirai ici la démon-stration très simple de ce fait (dont l'idée est due à M. Paraf 8 ) qui sembleavoir échappé à l'attention de plusieurs géomètres. Il suffit, évidemment,de montrer que la solution u de l'équation

(27) A d ~ + 2B-f^ + C^ + 2D^ + 2E d ^0'Fu==O

y ' dx' dxdy • dy" dx 1 dy

(AC-B*>K> 0, iM^O)

admettant à Vintérieur de C des dérivées finies et continues des deux premiers

ordres est identiquement nulle, si elle est nulle sur C. En effet, en supposant

d'abord FA < 0 (soit A > 0, pour fixer les idées), on voit que u ne peut

avoir à l'intérieur de C de maximum positif (ou minimum négatif), car en

, , -, ..du du _ , 3 2 m 0 2 m ( d 2 u \ 2 \ A

un tel point on aurait — = — = 0 et — „ • —— ; — -—— > 0 avec

r Sx 8 y dx 1 dy* \dxdyJ —

d ^ u • • •

u ® ' ce es ^ incompatible avec (27). Dans le cas général posons

u = b [1 — e-ais+iï,)] 5

où R x > R et a est un nombre positif assez grand. On aura 6 = 0 sur Cet de plus b satisfait à l'équation

[ 1 - e-« »+*•>] \aÇ\ + 2B~- + CÇ-]

L J L dx 2 dxdy dy J

—(— 2 r C 1 — e~ a <»+*)) D + A a ~

L\ /I J ? X

— |— 2 [( 1 — e~ al - x+R ' ) ) E -f- B ae~ ai - x+Ri) ] ^ [ F(1 — e~ a(x+Ji,i )+ 2 Da — a" A e-«( :c + iî i>] 5 = 0;

6 ) Annales de Toulouse 1892. Voir aussi ma lettre à M. Radó publiée dansMath. Zeitschr. 1926.