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S. Bernstein.

cette équation est de la même forme que (27) et il suffit de prendre

2D

a > — j~ pour que le coefficient de b soit certainement négatif pour toutevaleur de x , y à l'intérieur de C . Donc b est identiquement nul , et ude même.

Ainsi, si la solution z 0 pour a — 0 qu'on a pris pour point de départadmet des dérivées bornées des 9 premiers ordres, on est certain d'abord queses dérivées de tous les ordres existent sur le bord également (nous allons plusloin préciser ce résultat) et, de plus, pour toutes les autres valeurs de ail n'est nullement nécessaire, pour legitimer l'application de la méthodedes fonctions auxiliaires qui suppose l'existence des dérivées, d'appliquerdes considérations nouvelles pour prouver cette existence, — celle-ci résultedu théorème B et du procédé de détermination des dérivées successivespar le procédé indiqué plus haut moyennant l'équation (24 bis ). C'est pourcela que, grâce à la méthode des fonctions auxiliaires qui borne supérieu-rement ( uniformément T ), quel que soit a, les dérivées successives, si onconnaît une limite supérieure des modules des dérivées des 2 premiersordres seulement , on a le théorème général suivant*).

Théorème G. L'équation (3) admet toujours une solution analytiquepour a — 1, se réduisant à une fonction analytique donnée <p (0) sur G,si elle admet, pour a — 0, une solution bornée avec ses dérivées des9 premiers ordres prenant les mêmes valeurs <p (6) sur C, et si, de plus,il est possible de limiter supérieurement les modules des dérivées des2 premiers ordres des solutions (supposées dérivables autant de fois qu'onveut) de (8), quel que soit «(O^a^l), se réduisant à cp (0) sur C.(Si l'équation est linéaire en r, s, t, la limitation des dérivées premières suffit ;.

6. Enfin, en restant dans le même ordre d'idées (et sans utiliser laméthode des fonctions auxiliaires) je développerai les calculs qui précèdentpour établir la généralisation suivante d'un théorème connu de Schwarz:

Théorème D. Si z est une solution admettant des dérivées bornéesdes 9 premiers ordres à Vintérieur du cercle C de Véquation analytique dutype elliptique

(28) F (r , s, t,p,q,z,x,y) = 0

qui s'annule sur la circonférence G, elle peut être prolongée analytiquementà l'extérieur de G. En tenant compte de la méthode des fonctions auxi-liaires on peut généraliser cet énoncé, (voir la page 133 du Memoire cité)

7 ) Au contraire, le procédé que nous avons employé pour démontrer le théo-rème B , donne des limites supérieures qui augmentent, lorsque | a \ s'approche de s.

8 ) Pages 131—135 loc. cit. On trouvera des applications de ce théorème dansmes Mémoires, „Sur les surfaces définies au moyen de leur courbure. ' Ann. Sc. del'Ecole Norm. 1910. „Sur les l'équations du calcul des variations." Ibid. 1912.