Équations aux dérivées partielles.
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en remplaçant les dérivées des 9 premiers ordes par celles des 2 ordresseulement 9 ).
d z
Il suffira évidemment de prouver que sur la circonférence C,
est une fonction analytique de l'angle 6. Or ceci sera établi, si nous par-venons à construire une série majorante
yZ MJ" ^ MJ"
1 0
convergente pour des valeurs assez petites de 6, telle que (pour toutevaleur de x ^ 0)
(30)
M K >
- 2 (y.)d Z { 1
d X -
(0,1)
M,>
8~ ¿
dx 8 y
(0,1)
etc. ,
d y ' z / /
où z (x) — satisfait à l'équation linéaire obtenue en différentiant (28)
y. fois par rapport à 6 que nous pouvons mettre sous la forme
F[ + F'
,oi , sV*' , p 'dz <*> , w dz^
( 31) r +
* dxoy ' 1 dy 2
+ F'z {x) = A ,
1 7 y. 7
+ F f
V dx 1 Q dy
ou
1
V
de"
JJ
. r
II
.*
1
1
de*
r
+ [W—
L r \dd y -
a 3 .r<*>
(«)
dx'f 3" r
de *a* z (x)
+ .. . + -F 2
F' d " S + . 4 -F'
s de" z se*
d z "
+ F
1 ä
d y i
3 -(*)
d'z
de"
dxdy
- +
d"q
dz
<*>
On vérifie d'abord par un calcul facile l'identité
(32)
8 rdd"
d'zl" 1 -, d*z<"~ l) s 2 pî
Sx"
dxdy
*(x-l)(x- 2) o3 d'z (x ~ 3)3! dxdy
+
x{x — 1) (x — 2) (j< — 3)4!
2!
3 s z ( * _4)
r _(x-2)
3 a;"
*«<*-4)
dy
d'z { "~ 2)ay-
s' z
dx"
dy
9 ) De plus, à cause de l'existence d'inégalités analogues aux inégalités fonda-mentales (2) dans le cas d'un anneau limité par deux circonférences concentriques(voir ma Note précédente, p. 593), les dérivées de z pourraient n'être bornées quedans le voisinage de C. Le cercle C peut être évidemment remplacé ici par une*courbe analytique fermée quelconque; mais l'étude du cas, où z ne serait analytiqueque sur un arc de courbe analytique seulement, présente des difficultés spéciales