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S. Bernstein.

et des identités analogues pour les autres dérivées; donc, les inégalités(30) étant supposées remplies jusqu'à l'ordre y. inclusivement, on a

(30 biB )

8"r

86*

(0,1)

<N„,

8"s V 0 ' 1 '

de

* \ ' 'J R r

< N„ etc.,

où N x est défini par la série

Car

d"r06"

(0,1)

, , < i/ x -|-h(2il/, 2 *M K - a

à cause de (32); et en même temps

8* +i r d'zL de x+1

2 _(x+l)

8 X-

(0,1)

< N X + l My, + 1 L x . , 1,

où L, est défini par le développement (sans terme libre)

co

(33) ' (e 2 0- l)(Jf 0 + &) = .

De plus, en supposant que M 0 I qui est une limite supérieure de

8" z

8 x s

(0,1)

[z\j¿' r > j est aussi supérieur à [%\ R ' / > \_y\ R ' r '> nous aurons

""l r \ 1 1 / J 1 11

aussi pour toute valeur de y.

8" x'

(34)

M 0 >

se"-

(0,1)

, .. M o>

Iî r rr i

8 yL ?6"

(0,1)

puisque toutes ces dérivées sont égales à + x et + y .

Par conséquent, en admettant que les inégalités (30), donc les inéga-lités (30 b,s ) également, sont remplies pour toutes les valeurs i < y,, nous

pouvons les utiliser pour limiter supérieurement [^]' 0 ; 1 ', , car A x est un

1 r \

polynome par rapport à ' ~ , ... (J < *)> a Y an t pour coefficients les

dérivées partielles de F prises pour les valeurs de r, s, ..., z, x, y . Donc,en tenant compte des inégalités pareilles aux inégalités (13) (nous sup-posons toujours que F est entière) et en supposant que [F' r ] { ^ 1.... %