Équations aux dérivées partielles. 647

sont inférieurs à un nombre positif H, on aura (grâce à (30 bl9 ),(33) et (84))

B, > [A,}^\ ,

i i

22

où est le coefficient de 0" dans le développement suivant les puissancesde 0 de

(35) <p(b,d) = F(e*o(MMb), e 2 « (M 0 + b), ..., M 0 e°, M 0 e°)

- f{m 0 , m 0 ,...,m 0 )-b \f' t (m 0 , m 0 ) + i

+ 5JÏ(e*8- 1) (M 0 + b),

lorsqu'on remplace b par la série (29), dont les coefficients d'indicesinférieurs à y. interviennent seulement, car ç?j((), 0) = ç>(0, 0) = 0.(D'ailleurs <p(b,0 ) est une fonction entière par rapport à b et 6).

Donc, grâce aux inégalités (2) qui sont applicables avec le mêmef ac teur À, quel que soit y., nous pouvons affirmer que la solution b del'équation

b — X(p{b, 6)

donne précisément une série (29) qui converge pour des valeurs assezpetites de 9, d'après le théorème des fonctions implicites, satisfaisant auxinégalités (30) pour toute valeur de y.. Le théorème est donc dé-montré 10 ).

10 ) En modifiant un peu les calculs (en faisant passer F z z dans le secondmembre de (31)) on peut facilement se débarrasser de l'hypothèse F z < 0 qui estutilisée implicitement dans la démonstration quand nous appliquons à (31) lethéorème A.

(Eingegangen am 11. 5. 1926.)