Zur Integration der Wellengleichung auf Rieinannscheii

Flächen.

Von

A. Rubinowicz in Lemberg.

Í. Problemstellung.

Im folgenden behandeln wir ein Problem, das wir kurz in der nach-stehenden Weise formulieren können:

F n sei eine n- blättrige Riemannsche Fläche mit beliebig vorgegebenenVerzweigungspunkten. Zur Zeit t = t 0 sei auf F n ein beliebiger Anfangs-zustand, d.h. die Werte von u = f(x,y) und ~—g(x,y) vorgegeben.

Es wird für t t 0 nach einer Lösung der Wellengleichung ^

gefragt, die dem angegebenen Anfangszustande entspricht und auf der

Fläche F n überall regulär ist.

Oder präzis gesprochen: Es ist eine Funktion u(x,y,t ) der Ver-änderlichen X, y, t zu finden, die den folgenden Bedingungen genügt:

1. u(x, y,t) ist für alle Punkte der Riemannschen Fläche F n miteventueller Ausnahme der Verzweigungspunkte eindeutig definiert.

2. u(x,y,t ) erfüllt für t — t 0 die Anfangsbedingungen:

u = f(x,y) und = g(x, y) - 1 )

3. u (x, y, t ) ist samt ihren Ableitungen der beiden ersten Ordnungennach ihren Veränderlichen für alle Werte von x, y, t endlich und stetig,mit Ausnahme der Verzweigungspunkte und der singulären Stellen, diedurch die Anfangsbedingungen zur Zeit t — t 0 verursacht werden 2 ).

x ) Um die Beweise nicht zu komplizieren, nehmen wir im folgenden stets an.daß die Anfangswerte zur Zeit t = f 0 partielle Ableitungen der ersten drei Ordnungennach x und y besitzen.

") Vgl. A. E. H. Love: The propagation of wave motion in an isotropic elasticsolid medium, Proc. Math. Soc. London (2) 1 (1904), S. 291.