A. Rubinowicz. Wellengleichung auf Riemannsohen Flächen.

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• d to

In den Verzweigungspunkten sollen u und —- endlich bleiben. Ist q

der Abstand von einem Verzweigungspunkte, so darf dagegen dieAbleitung — hier zwar unendlich werden, aber doch nur so, daß

lim g = 0 wird.

e = o d e

4. u(x,y,t) genügt, bis auf die unter 3. genannten Ausnahmestellen,der Wellengleichung:

□ d" u 3 a u , d* u „

dx- dy- dt"

Die eben formulierte Aufgabe ist als ein Cauchysches Randwertproblemin einem Riemannschen Räume R n der Minkowskischen Welt x, y, t auf-zufassen, wobei R n durch eine Bewegung der Riemannschen Fläche F nlängs der senkrecht auf ihr stehenden Zeitachse t entsteht. Den Ver-zweigungspunkten der Riemannschen Fläche F n entsprechen dann in unseremRiemannschen Räume R u zueinander und zur Zeitachse parallele Ver-zweigungsgerade. Wir haben es hier also mit einem speziellen RiemannschenRäume R n zu tun, da seine Verzweigungskurven Gerade sind. BeliebigenVerzweigungskurven in R n entsprechen Riemannsche Flächen F n , auf denendie Verzweigungspunkte ihre Lage mit der Zeit ändern.

Im folgenden zeigen wir nun zunächst mit Hilfe von Eindeutigkeits-sätzen, daß es zur Lösung des oben angegebenen allgemeinen Problemshinreicht, ein spezielles, in dem oben angeführten enthaltenes Problem zulösen, wo die Riemannsche Fläche F n einen einzigen im Endlichen ge-legenen Verzweigungspunkt besitzt. Die Lösung des allgemeinen Problemsläßt sich nämlich durch „Zusammenstückelung" aus den Lösungen desspeziellen Problems herstellen. Die Methode, mit der wir dabei die Lösungu(x, y , t) in diesem letzteren einfacheren Falle gewinnen, verwendet imwesentlichen die unter Benutzung des Charakteristikenbegriffes zuerst vonVolterra 3 ) und dann von Hadamard 4 ) modifizierte Verallgemeinerung derRiemannschen Integrationsmethode. Die Funktion u(x, y, t ) werden wirdemnach in unserem Spezialfälle mit Hilfe einer „Fundamentallösung"(analog der Lösung — im Falle der elliptischen Differentialgleichung Au = 0jund einer „Fundamentalformel" (analog dem Greenschen Satze) unter Ver-wendung einer von d'Adhémar 5 ) und Hadamard 4 ) zuerst eingeführtenOperation herstellen, die als die Bildung des endlichen Teiles eines un-

3 ) Vito Volterra, Acta mathematica 18 (1894), S. 161.

4 ) J. Hadamard, Acta mathematica 31 (1908), S. 333.

5 ) R. d'Adhémar, Journ. de Mathématiques (5) 10 (1904), S. 131 und (6) 2(1906), S. 357.

Mathematische Annalen. 96. 42