Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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durch „Zusammenstückelung" aus den obigen Funktionen das gemischteProblem für den Fall lösen läßt, wo die Berandung in der x, y-Ebeneaus einem geschlossenen oder ungeschlossenen Streckenzuge besteht 0 ).

Schließlich bedarf es wohl kaum eines besonderen Hinweises auf dieTatsache, daß man in dem obigen Probleme die Cauchyschen Bedingungenstatt auf der Ebene t — t 0 auch auf einer nicht ebenen Fläche S vorgebenkann, die, sonst beliebig, nur der Einschränkung unterworfen ist, daß ihreNormalen mit der ¿-Achse immer einen Winkel kleiner als ni 4 bilden.

Physikalisch von Interesse sind die Lösungen des durch 1. bis 4. be-stimmten Problems in dem Falle, wo wir es mit einer zweiblättrigenRiemannschen Fläche zu tun haben, deren Verzweigungspunkte alle in einerGeraden liegen. Mit Hilfe des Thomson-Sommerfeldschen Spiegelungsver-fahrens läßt sich nämlich aus solchen Lösungen der Wellengleichung daszweidimensionale Beugungsproblem für einen ebenen, vollkommen reflek-tierenden Schirm erledigen, in dem die beugenden Öffnungen von Geradenbegrenzt werden, die zueinander parallel sind. Als wichtigste Beispielenennen wir den Spalt und das ebene Gitter.

Die erwähnten, durch „Zusammenstückelung" aus den Lösungen desdurch l\ bis 4'. bestimmten Problems hergestellten Funktionen stellen Lö-sungen noch allgemeinerer zweidimensionaler Beugungsprobleme dar, wo dieBeugung an einer oder mehreren Zylinderflächen stattfindet, deren Erzeugendezueinander parallel sind und deren senkrechte Querschnitte aus geschlossenenoder ungeschlossenen Streckenzügen bestehen.

II. Eindeutigkeitsbeweis.

Zunächst wollen wir zeigen, daß die Lösung des Problems, das wirim Abschnitte I an erster Stelle formuliert haben, durch die dort an-gegebenen Bedingungen 1. bis 4. eindeutig bestimmt ist.

Um das Eindeutigkeitstheorem bequem aussprechen zu können, definierenwir einen Kegelraum K in der nachstehenden Weise: # a , î / 3 , t., sei einPunkt in einem bestimmten Blatte des Riemannschen Raumes R n . Ersoll über der Fläche t = t 0 liegen, es sei also i, > t 0 . Mit x 2 , y 2 , alsSpitze errichten wir einen Halbkegel f 0 , dessen Punkte durch die Glei-chung (x — x„) 2 + (y — y 2 ) 2 — [t — i 3 ) 2 = 0 gegeben sein mögen, alsoeinen gewöhnlichen Kegel mit einem Öffnungswinkel von 90°, dessen Achseparallel zur t- Achse verläuft. Der Kegel F 0 wird nun im allgemeinenirgendwelche Verzweigungsgerade des Raumes R n schneiden. Denken wiruns dann die durch die betreffende Verzweigungsgerade gehende Erzeugendedes Kegels aufgezeichnet, so möge die Kegeloberfläche längs jenes Teiles

°) A. Rubinowicz, Monatshefte für Math. u. Phys. 30 (1920), S. 65.

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