Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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'i:

nächst eine schon von Volterra 8 ) benutzte Integralrelation an (Fundamental-formel) :

J/J ~ uUv } dx d V dt = jS{ u °dT- ~ V ¥v} df -

R <B)

u und V sind dabei zwei in R zweimal ableitbare Funktionen,

/ r\\ I 1 du () XI . d Itr

(2) □ U = - 2 — 0 H

dx dy dt

und endlich die Ableitung nach der inneren Konormalen 9 ), d. h. (imFalle der Differentialgleichung □ît = 0):

/o, 0 _ d d d

\ / 3 JTi o ~I fflo o JTn o . j

v J dv 1 dx 1 2 dy 6 dt

wenn n 1 , tt.. 2 , ji s die Kichtungskosinus der inneren Normalen an dieFläche (R) sind.

Setzen wir nun voraus, daß u der Differentialgleichung □ u = 0 ge-nügt und V — ~ ist, so wird :

(R)

Wir bezeichnen die auf die verschiedenen Teile der Begrenzung (R) be-züglichen Integrale I mit 1. 0j I i, I usf. Um sie zu berechnen, nennen

' n >n 0

wir s die Entfernung von der Kegelspitze x„, y„, t„ längs der Erzeu-genden auf F 0 und a die Entfernung von der Spitze eines Kegelsr* längs einer Erzeugenden auf diesem Kegel. Ferner führen wir injeder Fläche t = konst. Polarkoordinaten r,cp (bzw. q , y> ) ein, derenUrsprung in dem Durchschnittspunkte der Kegelachse F 0 (bzw. r*) mitder Fläche t = konst. liegt. Für die auf F 0 bzw. F* liegenden Punkte

ist dann r = und g = . Die Ableitungen (3) nach der Konormalen vsind dann auf den einzelnen Begrenzungsflächen von (i?) gegeben:

") Vito Volterra, 1. c.

°) Im allgemeinen Falle wird die Konormale in einem bestimmten Punkte Peiner Fläche S durch die Richtung definiert, die zur Tangentialebene an S in P inbezug auf den charakteristischen Kegel, dessen Spitze durch P geht, konjugiert ist.Die Konormale fällt also in die Richtung der Tangentialebene, falls in dem betreffen-den Punkte P der charakteristische Kegel die Fläche S berührt. In dem Spezialfälleder Wellengleichung wird die Richtung der Konormalen einfach durch Spiegelungder Normalenrichtung an der x, «/-Ebene erhalten.