Wellengleichung auf Riemannschen Flächen. 655

und da die Normalenrichtungen bestimmt sind:auf der Fläche f,¡ durch: + f,

» » » fn " : — Ï»

„ ,1 » Z r » die Richtung von q ,

„ „ ,, r„ » den Einheitsvektor: : Leos m i L sin rot — -= :

0 \2 \2 ^2

=1= 1 . 1 . . 1

« » » r,.' » « n : ■= cos w t — — sin if j -=

\2 \2 \2

so sind die Beiträge, die die einzelnen Teile von (R) zu I* liefern, ge-geben durch:

I*

f

*- J.fMS+&) +(£)'+ G ï) V

C

JJ{«(îl?+îF)+(5î) , + (Îï)> ft

fn

t * f C I du du d " it \ j ,

^' = JJ {-aTS5—

z v

r * f f í 1 3 m 0M . u d'u 1 f /3"w . 5"w\ , (dxi\~ .

- J.J {fï 8Ï är + ff - ff L »te + ,ir) + U + U J)«i* ff/4 d - u d Ji + JL-^-±\ u (pt + + ( 3 -^f + (^) 8 ] \ df.

>■ JJ l|2 dt dg \2dgdt \2 L \dx 2 dy 2 ' ^dx' --dyJ Ir*

Nach dem Obigen ist nun I-\-I*=0 und daraus folgt unmittelbar unserEindeutigkeitstheorem. Um diese Summe zu bilden, bemerken wir, daßmit Rücksicht auf □ u = 0 :

7 '»° + z í = JJ{(£) + (S) + (IT) } du

f 0'«

;+4 = -JJ{(S) S +(^) 5 +(S)>^

Ferner ist:

fn

7* o f Í 8u J r

h ' - - 2 JJ ^ - i( -

Z„

dt de

Mit Rücksicht auf □« = (), (|5) + gj) = (g) + r V (^) wird weiter