Wellengleichung auf Riemannschen Flächen.

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, „ dU dU Aauf F r — = —z— = 0,

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, „* SU du nund » 1 v = -j— = 0

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sein. Es ist also auf den genannten Flächen w, — u„ — konst.. Da aberu x und u 2 auf die gleichen Anfangsbedingungen erfüllen, so muß aufder Schnittlinie von f n ° mit j T 0 und mit den F v u 1 =u 2 sein. Wegen derStetigkeit dieser beiden Funktionen muß aber dann auch auf allen anderenhier in Betracht kommenden Flächen u x — u., sein. Daraus folgt zunächst,daß u insbesondere auch auf der Fläche fn eindeutig bestimmt ist.

Da aber die Lage der Fläche f], d. h. des Schnittes von t = t 1 mit K,nur der Bedingung t„>t 1 > t 0 unterworfen ist, so wird die Funktionm(x, y, t ) durch die auf f n ° vorgegebenen Anfangswerte im ganzen Räume Keindeutig festgelegt. Damit ist also unser Eindeutigkeitstheorem voll-ständig bewiesen.

Mit Hilfe unseres Eindeutigkeitstheorems läßt sich nun das im Ab-schnitt I durch die Bedingungen 1. bis 4. bestimmte Problem auf ein vieleinfacheres reduzieren. Wir behaupten nämlich: wir können das in Redestehende Problem für den Fall einer beliebig vorgegebenen RiemannschenFläche F n bewältigen, wenn wir es für Riemannsche Flächen <P n , dienur einen einzigen Verzweigungspunkt im Endlichen besitzen, lösen können.

Denken wir uns nämlich in dem zu der Fläche F n gehörigen Riemann-schen Räume einen Kegelraum K gegeben, der so gelegen ist, daß er keineoder höchstens eine einzige Verzweigungslinie dieses Riemannschen Raumesenthält, fn sei wieder die durch K aus F n herausgeschnittene Riemann-sche Fläche. Nach unserem Eindeutigkeitstheorem werden durch die auffn gelegenen Anfangswerte die Werte der Funktion u innerhalb K ein-deutig festgelegt und zwar unabhängig davon, welche Anfangswerte aufF n außerhalb fn vorgeschrieben sind und unabhängig davon, wie dieRiemannsche Fläche weiter außerhalb fn verläuft. Wir erhalten alsooffenbar innerhalb K die gleiche Funktion u, ob wir f„ nun weiter zueiner nur einen einzigen Verzweigungspunkt im Endlichen besitzendenRiemannschen Fläche & n oder zu einer beliebigen Riemannschen Fläche F nergänzen. Nach unserer Voraussetzung, daß wir unser Problem für dieRiemannsche Fläche & n lösen können, ist es uns also möglich, auch aufder Fläche F n für jeden solchen Raum Ii die Funktion u anzugeben.Daraus folgt aber, daß wir im Falle der Riemannschen Fläche F n dieFunktion u(x, y, t ) für alle Punkte des zu F n gehörigen RiemannschenRaumes angeben können, die innerhalb irgendeines Raumes K gelegen sind,der höchstens eine Verzweigungsgerade des zu F n gehörigen RiemannschenRaumes enthält. Bezeichnen wir mit l die Entfernung der beiden Ver-