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A. Rubinowicz.

zweigungspunkte auf F n , die den kleinsten Abstand voneinander besitzen,so sieht man leicht ein, daß u nach dem Obigen sicher für alle Raum-punkte angegeben werden kann, deren t- Koordinaten der Ungleichung

4 > t - t 0 ^ 0 genügen.

Ist nun t' ein die obige Ungleichung befriedigender i-Wert, sokönnen wir u und ~ für t' auf der ganzen Fläche F n berechnen. Be-nützen wir diese Werte als Anfangswerte, so können wir die Funktion ufür alle ¿-Werte berechnen, die die Ungleichung — erfüllen,

ein Verfahren, das wir offenbar beliebig oft fortsetzen können. Wir er-halten so durch ein Verfahren, das wir als die Zusammenstückelung der zuF n gehörigen Lösung u(x,y,t) aus den zu <I> n gehörigen Lösungen be-zeichnen können, die Funktion u(x,y,t) in dem ganzen der Riemann-schen Fläche F n entsprechenden Räume R n für alle Zeiten, die der Un-gleichung t^ît 0 genügen.

III. Anwendung des Spiegelungsverfahrens auf das gemischte Problem.

Wir wollen nun zeigen, wie wir durch Anwendung des Spiegelungs-verfahrens unser gemischtes Problem l'. bis 4'. auf ein einfacheres zurück-führen können. Um dies zu erreichen, stellen wir die Lösung u(x,y,t)= u[r,cp,t) unseres gemischten Problems, je nachdem sie die Rand-bedingungen a) oder ß) erfüllen soll, als Summe bzw. als Differenz zweierFunktionen u l und u., dar, die auf einer, einen einzigen Verzweigungspunktim Endlichen enthaltenden unendlichvielblättrigen Riemannschen Flächedefiniert sind. Die Punkte auf legen wir durch Polarkoordinaten r, rpfest, deren Ursprung in dem Verzweigungspunkt von 0^ liegt. Die Funk-tionen ííj und u., bestimmen wir durch die Anfangsbedingungen:

jy , \ d W-t / \

( r >(P)> ~df =g

u 2 = f 2 (r,cp), d ^ = g 2 (r, <p),die wir in der nachstehe nden Weise wählen: Ist zur Zeit t = t 0

u = f(r,tp), = g(r, <p),

so setzen wir zunächst im Bereiche % ^ ^ 0 :im Falle der Randbedingung a ):» » » » ß) : f = /i — f. 2 •

Weiter bestimmen wir in beiden Fällen die Funktionen f x und / 2 auf derganzen Fläche in der Weise, daß sie bei einer Spiegelung an der