Wellengleichung auf Riemannschen Flächen. 659

Geraden cp — 0 wechselweise ineinander übergehen (es ist also f\(r,<p)— fi{ r > — <P) und f*¡(r , 9 o) = f y (r, — cp )) und in bezug auf die Veränder-liche cp periodisch mit der Periode 2% sind. In der gleichen Weise defi-nieren wir auf í> x unter Zugrundelegung der Funktion g(r, cp) die An-fangswerte <7j und g 2 .

Wir können nun, wie dies sofort gezeigt werden soll, eine allen Be-dingungen 1'. bis 4'. unseres gemischten Problems entsprechende Funktion uherstellen, wenn es uns gelingt, zwei den nachstehenden Bedingungen 1 ".bis 4 . genügende Funktionen u i und v 2 anzugeben:

l". m, und u„ sind in dem durch die Ungleichungen0 r, — co < cp < -j- oo, t 0 ^ t

bestimmten Bereiche des zur Fläche <Z> X gehörigen Riemannschen Raumeseindeutig definiert.

2". u 1 und u„ erfüllen für t — t 0 die Anfangsbedingungen:

. du.

= -3T = 9I>

« ÖUo

^ 9 t -2> fj f 9'1 ■

3". u i und u„ sind samt ihren Ableitungen der beiden ersten Ord-nungen, abgesehen von der Verzweigungsgeraden und abgesehen von densingulären Stellen, die durch die Anfangsbedingungen zur Zeit / = t 0 ver-ursacht werden, überall in dem in 1 . genannten Räume R x endlich undstetig. In der Verzweigungsgeraden sind und sowie ihre Ableitungen

™ und ~ endlich, ihre Ableitungen und werden hier aberdt 01 0 dr dr

d w r

höchstens in einer solchen Weise unendlich, daß lim r —— = 0 ( v— 1, 2) ist.

r=o cr

4". u x und u 2 entsprechen im allgemeinen, d. h. mit Ausnahme derunter 3". genannten singulären Stellen, der Differentialgleichung:

,2 ,2 3 2

^ du 01 1 0 u p

dx" dy~ dt*

Wir behaupten nun: Die beiden Funktionen

u' = u 1 + u„ und u" = u i — ?/.,

stellen für den Fall der Randbedingungen «) bzw. ß) die Lösung unseresgemischten Randwertproblems dar. In der Tat ist ja sofort zu sehen, daßu' und u" sämtlichen für u vorgeschriebenen Bedingungen 1'. bis 4'.genügen. Nur das Erfülltsein der Randbedingungen an den Ebenen cp = 0und cp = X erfordert eine kleine Betrachtung.