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A. Rubinowicz.

Mit Hilfe unseres Eindeutigkeitstheorems erkennt man zunächst leicht,daß auch die Funktionen. u i und u„ die nachstehenden, ihren Anfangs-bedingungen auferlegten Eigenschaften besitzen : Sie gehen bei einer Spiege-lung an (p = 0 wechselweise ineinander über und sind in bezug auf dieVeränderliche cp periodisch mit der Periode 2 %.

Daher ist

u^r, 0, t) = m 9 (r, 0, t),

- e ~u,(r,0,t),

was aber nichts anderes bedeutet, als daß die Funktionen u' und u" dieRandbedingungen 2'. an der Ebene cp = 0 erfüllen.

Um noch zu zeigen, daß sie auch den Randbedingungen an der Ebenecp — X genügen, bemerken wir, daß nach den jetzt angeführten Eigen-schaften von u 1 und u 3 :

(r, X, *) ■= M r > — = !■> l ) >

= ^u,{r,x,t)

ist.

Nun sieht man ohne weiteres, daß unser durch 1". bis 4". defi-niertes Problem, das durch 1. bis 4. bestimmte als Spezialfall in sichschließt, falls die Riemannsche Fläche F n nur einen einzigen im Endlichengelegenen Verzweigungspunkt hat. Setzen wir nämlich in unserem jetzigenProblem % = mn [m — 1, 2, 3, ...), so ist die in diesem Falle aufdefinierte Funktion schon auf einer m -blättrigen Riemannschen Fläche ( J> meindeutig darstellbar. Nach den Überlegungen im Abschnitt II genügt esalso, das jetzige Problem zu lösen.

Dies kann jedoch erst im Abschnitt VI geschehen, da wir in dem nunfolgenden Abschnitt IV an ein zur Bewältigung unserer Aufgabe erforder-liches Hadamardsches Operationssymbol erinnern und im Abschnitt V zu-nächst die Fundamentallösung für unser Problem herstellen müssen.

IV. Ein von Hadamard eingeführtes Operationssymbol 10 ).

Wir betrachten das Integral

r (*)= f — dx,

J (b-x)P +a

wo p eine ganze Zahl bedeutet und a zwischen 0 und 1 gelegen ist, ohnejedoch diesen beiden Grenzen jemals gleich zu werden. Von der FunktionA(x) setzen wir voraus, daß sie mindestens (p— l)-mal ableitbar ist

10 ) J. Hadamard, 1. c.