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Wellengleichung auf Riemannsohen Flächen.

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und daß ihre (p — l)-te Ableitung A [ '' V (x) die Bedingung von Lipscliitz(! A {v ~^ (b) — A (v ~ x) (x) I < K- 1 b — x I) erfüllt.

Ist p > 0, so ist im allgemeinen der lim l(x ) nicht vorhanden. Es

x—b

läßt sich aber leicht zeigen, daß in diesem Falle zu l{x) eine Funktionder Form

B(x)

(b-x)P- 1+a

addiert werden kann, so daß der Grenzwert

I(x)

B(x)

(7) lim _ ,

v ; x =b 1_ (b — x)V~ 1 + a

existiert. Setzen wir voraus, daß B(x) ebenfalls p— 1 Ableitungen be-sitzt und daß seine (p — l)-te Ableitung die Bedingung von Lipschitz er-füllt, so ist der Grenzwert (7) von der sonstigen Wahl der Funktion B \x)unabhängig, wird von Hadamard mit

(8)

f

J (b - x)P +a

dx

bezeichnet und heißt der endliche Teil des unendlichen Integrals:

b

j i

dx.

J

A(x)

(b - x) v + a

Es ist nicht schwer, für den Wert der durch den HadamardschenOperator angedeuteten Operation (8) einen Ausdruck in den gebräuchlichenOperationssymbolen zu geben. So ist z. B. in dem für uns in dem folgen-den allein in Betracht kommenden Falle p = 1 :

u

l

A{x)

(6 - x)

1 + u

dx =

J (b-x) 1+a

A(b)

a{b- a )"

Es ist nun für das weitere sehr wichtig zu bemerken, daß der Aus-druck (8) im Falle, wo b und A(x) von einem Parameter t abhängen:

b = b(t), A(x) = A(x,t)

in der Weise nach t abgeleitet werden kann, daß man einfach unter demIntegralzeichen den Integranden nach t differenziert. Es ist also:

d_dt

U

J

A (x, t)(b(t) -x) p+a

dx =

Í

dAdt

,(b — x) p+

i~(P + «)£

A

dt (b-x) p+1+a

dx.